文数答题卡 2020年6月.pdf

东莞市 2020 届高三第二学期第二次统考（6 月）模拟考试 文科数学试题参考答案评分细则 第 1页 共 4 页 东莞市 2020 届高三第二学期第二次统考（6 月）高考冲刺试题 （最后一卷） 文科数学试题参考答案及阅卷评分细则 评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C C D A B B A D C A 二．填空题 13．3 14． 22 1 或 （答对一个 2 分） 15． 3  16．  3 38 三、解答题 17. （本小题满分 12 分） （1）由 1211  n n nn bba ，取 1n ，得 12 1 1 22  bba ，解得 42 a （1 分） 取 2n ，得 12 2 2 33  bba ，解得 83 a （2 分） ∵数列 }{ na 是等比数列∴ 2,2 2 1 2 3  q aaa aq （4 分） （算对一个 1 分） ∴求数列 na 的通项公式为 nn n qaa 21 1   （5 分） （2）由（1）得 nn n qaa 21 1   ，则 122 1 1   n n n n bb ，即 122 1 1   n n n n bb （6 分） ∴数列 }2{ n n b 是首项为 2 1 ，公差为1的等差数列（7 分） （评分细则：一定要详细写是怎样的数列，若只下“数列为等差数列”的结论该步不得分） ∴数列 nnbbn n  1)1(22 1 ， nn nb 2  （8 分） 设 }{ nb 的前 n 项和为 nS 则 nn nS 2...2 3 2 2 2 1 32  ， 1432 2...2 3 2 2 2 1 2  n n nS （9 分） 则 11132 2 212 2 11 )2 1(12 1 22 1...2 1 2 1 2 1 2          nn n nn n nnnS （11 分） （评分细则：写对两式相减之后的结果或相减之后的求和公式即给 1 分，不重复给分）东莞市 2020 届高三第二学期第二次统考（6 月）模拟考试 文科数学试题参考答案评分细则 第 2页 共 4 页 ∴ nn nS 2 22  （12 分） 18. （本小题满分 12 分） （1）证明：由已知可得 2 2BD BC  BCBDCDBCBD  ,222 （1 分） / /FC EA ，且 AE  面 ABCD， FC ABCD  面 （2 分） BC ABCD 面 ， BD FC  （3 分） FC BC C ， BC BCF 面 ， FC BCF 面 （4 分）（步骤不全，本得分点不给分） ∴ BD BCF 面 （5 分） BD BDF且 面 ，所以 BDF BCF面 面 （6 分） （2）解法一： EA AD EA CD ， ADCDABADCDAB  ,,// 又 EA  平面 EAD ， AD  平面 EAD ， EA AD A EADCD 平面 （7 分） （步骤不全，本得分点不给分） 又 ED  平面 EAD ， CD DE  即三角形 ECD 为直角三角形（8 分） 设点 B 到平面 ECD的距离为 h , BCDECDEB VV   ，即 BCDCDE SAESh   3 1 3 1 （9 分） 1 2 42 21 4 2 2 BCD CDE AE CD ADAE Sh S CD DE             （11 分）（算式对结果错得 1 分）  点 B 到平面 ECD的距离为 2. （12 分） 解法二： / /AB CD ， AB  面 ECD ，CD  面 ECD ，所以 / /AB 面 ECD 则点 B 到平面 ECD 的距离等于点 A 到平面 ECD 的距离，（7 分） 过 A 作 DEAM  ，垂足为 M ， EA  面 ABCD ， AD  面 ABCD ，CD  面 ABCD CDEAADEA  ， ADCDABADCDAB  ,,// 又 EA  面 EAD ， AD  面 EAD ， EA AD A CD  面 EAD （8 分） 又 AM  面 EAD ， CD AM  又 DEAM  ， ED  平面 ECD ， CD  平面 ECD ， ED CD D ECDAM 平面 ， 则 AM 为点 A 到平面 ECD 的距离（9 分）（上述证明过程可适当简化） 2AD AE  ， EA AD 2AM ，即 A 到平面 ECD的距离为 2 ， （11 分）  点 B 到平面 ECD 的距离为 2. （12 分）（解法二的给分要点为：写出距离的平行转移 得 1 分，作出并证明 AM 为点面距离得 2 分，计算出 AM 得 2 分，回答所求结果 1 分） 19. （本小题满分 12 分） （1）估计新设备所生产的产品优质率为 %70%100100 152530  （1 分） 估计旧设备所生产的产品优质率为 %55%100)02.003.006.0(5  （2 分） （评分细则：上面两步如果都没有换成百分比数过程对扣 1 分） （2）（评分细则：只要发现 1 个错误扣 1 分，扣完即止） （4 分） 由列联表可得， 841.38.410010012575 )70455530(200 2 2  k （6 分） 非优质品 优质品 合计 新设备产品 30 70 100 旧设备产品 45 55 100 合计 75 125 200东莞市 2020 届高三第二学期第二次统考（6 月）模拟考试 文科数学试题参考答案评分细则 第 3页 共 4 页 （评分细则：每一部分各 1 分，若没有具体代入数据计算过程答案算对给 1 分，观测值比 较错误且前面过程无错误给 1 分；观测值算错过程对也给 1 分） ∴有 95%的把握认为产品质量高低与新设备有关。（7 分） （3）∵新设备所生产的产品优质率为 70% ∴每台新设备每天所生产1000 件产品中，估计 有 7000.71000  件优质品，有 3007001000  件合格品。（9 分） ∴估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为 007113002700  （元）（10 分） ∵买一台新设备需要80 万元，∴ 4711700800000  （天）（11 分） （评分细则：没有换成整数不给分）即至少需要生产 471天才可以收回设备成本。（12 分） 20. （本小题满分 12 分） （1）易知直线 l 的斜率存在且不为零，设直线 l 的方程为 ( 4)( 0)y k x k   ， 当直线 l 与抛物线 C 相切时 OPQ 最大，（1 分） 把 ( 4)y k x  与 2 4y x 联立得 2 2 2 2(8 4) 16 0k x k x k    （2 分） 所以 2 2 4(8 4) 64 0k k     ， 2 1 1,4 2k k   ，（4 分） 所以直线 l 的方程为 1 ( 4)2y x   ，即 2 4 0x y   或 2 4 0x y   ．（5 分） （2）假设 x 轴上存在点 ( ,0)M m ，使得过点 M 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，且点 M 到 直线 ,AP BP 的距离相等，记直线 ,AP BP 的斜率分别为 ,PA PBk k ，则 0PA PBk k  ， 设直线 AB 的方程为 x ty m  ，与 2 4y x 联立得 2 4 4 0y ty m   ， 216 16 0t m    ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 1 24 , 4 ,y y t y y m    所以 PA PBk k  1 2 1 2 1 2 1 24 4 4 4 y y y y x x ty m ty m         1 2 1 2 1 2 2 +( 4)( ) 0( 4)( 4) ty y m y y ty m ty m       （9 分） 所以 1 2 1 22 ( 4)( ) 8 4 ( 4)ty y m y y tm t m       4 (4 ) 0t m   ， 当 t=0 时，m＞0 即可；当 t≠0 时， 4m  ．所以 x 轴上存在点 (4,0)M ，使得过点 M 的任意 直线与抛物线 C 交于点 A，B，且点 M 到直线 ,AP BP 的距离相等．（12 分） 21.（本小题满分 12 分） （1） ( )f x 的定义域为 (0, )  （1 分）  2 ( 1)( )( ) , 0 xx e axf x ax     ，（2 分） 当 (0,1)x 时， ( ) 0f x  ； (1, )x  时， ( ) 0f x  ， 函数 ( )f x 在 (0,1) 上单调递减；在 (1, ) 上单调递增． （4 分） （2）当 1a   时， 1( ) ( ) ( 1)x xf x bx b e x b x e lnxx        ， 由题意， ( 1) 0xb x e lnx  在[1， ) 上恒成立 ①若 0b ，当 1x 时，显然有 ( 1) 0xb x e lnx  恒成立；不符题意． ②若 0b  ，记 ( ) ( 1) xh x b x e lnx   ，则 1( ) xh x bxe x    ．（7 分） 显然 ( )h x 在[1， ) 单调递增，当 1b e 时，当 1x （3）时， ( )h x h  （1） 1 0be  （4） [1x  ， ) 时， ( )h x h （1）（8 分） 当 10 b e   （6）， h （1） 1be   0，（7） 11( ) 1 0bh e b eb       （8） 存在 0 1x  ，使 ( ) 0h x  ．（9 分） 当 0(1, )x x 时， ( ) 0h x  ， 0(x x ， ) 时， ( ) 0h x  ， ( )h x 在 0(1, )x 上单调递减；在 0(x ， ) 上单调递增 （10 分） 当 0(1, )x x 时， ( )h x h （1） 0 ，不合题意（11 分）东莞市 2020 届高三第二学期第二次统考（6 月）模拟考试 文科数学试题参考答案评分细则 第 4页 共 4 页 综上所述，所求 b 的取值范围是 1[ , )e  （12 分） 22.（本小题满分 10 分） （1）设 ),(),( 1  QP ， 则  sin2cos 1,1sin2cos 111  即 （1 分） 由 2 OQOP 得 21   （2 分） ∴  sin42cos2sin2cos 1  （3 分） ∴ yxyx 42sin4cos2 222  即 化简得 5)2()1( 22  yx （4 分） ∵ 2 OQOP ∴点Q 的轨迹 2.C 不经过 )0,0( 点 ∴ 2C 的直角坐标方程为 ))0,0((5)2()1( 22 点不包括 yx （5 分）（不配方不扣分） （2）由曲线 1C 的极坐标方程为 cos 2 sin 1     得 其直角坐标方程为 01212  yxyx 即 （6 分） ∵曲线 2C 的圆心 )2,1(  ，半径 5 ∴点 )2,1(  到 1C 的距离 5 4 )2(1 1)2(21 221   d （7 分） ∴   5 652 2 1 2  dMN （8 分） ∵点O 到 1C 的距离 5 1 )2(1 1 222   d （9 分） ∴ OMN△ 的面积为 5 3 5 1 5 6 2 1 2 1 2 dMN （10 分） 23.（本小题满分 10 分）东莞市 2020 届高三第二学期第二次统考（6 月）模拟考试 文科数学试题参考答案评分细则 第 5页 共 4 页