2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型六二次函数与三角形相似问题.doc

1 类型五 二次函数与特殊平行四边形判定问题 例 1、如图，抛物线 与直线 交于 两点，其中点 在 轴 上，点 的坐标为 。点 是 轴右侧的抛物线上一动点，过点 作 轴于点 ，交 于点 . （1）求抛物线的解析式； （2）若点 的横坐标为 ，当 为何值时，以 为顶点的四边形是平行四边形？ 请说明理由。 【解析】（1）∵直线 经过点 ,∴ ∵抛物线 经过点 ， ∴ ∴抛物线的解析式为 （2）∵点 的横坐标为 且在抛物线上 ∴ 2y x bx c= − + + 1 22y x= + ,C D C y D 7(3, )2 P y P PE x⊥ E CD F P m m , , ,O C P F 1 22y x= + C (0,2)C 2y x bx c= − + + (0,2)C D 7(3, )2 2 2 7 27 3 3 22 c b b c c =  = ∴ = − + +  =  2 7 22y x x= − + + P m 2 7 1( , 2), ( , 2)2 2P m m m F m m− + + +2 ∵ ∥ ，∴当 时，以 为顶点的四边形是平行四边形 ① 当 时， ∴ ，解得： 即当 或 时，四边形 是平行四边形 ② 当 时， ，解得： （舍去） 即当 时，四边形 是平行四边形 例 2、如图，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A（﹣1，0）、B（3，0），与 y 轴相交于点 C，点 P 为线段 OB 上的动点（不与 O、B 重合），过点 P 垂直于 x 轴的直线与抛物线及线段 BC 分别交于点 E、F，点 D 在 y 轴正半轴上，OD=2，连接 DE、OF． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形 ODEF 是平行四边形时，求点 P 的坐标； 【解析】解：（1）∵点 A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线 y=ax2+bx+3 上， ∴ ， 解得 a=﹣1，b=2， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3． PF CO PF CO= , , ,O C P F 0 3m< < 2 27 12 ( 2) 32 2PF m m m m m= − + + − + = − + 2 3 2m m− + = 1 21, 2m m= = 1m = 2 OCPF 3m ≥ 2 21 7( 2) ( 2) 32 2PF m m m m m= + − − + + = − 2 3 2m m− = 1 2 3 17 3 17,2 2m m + −= = 1 3 17 2m += OCFP3 （2）在抛物线解析式 y=﹣x2+2x+3 中，令 x=0，得 y=3，∴C（0，3）． 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，将 B（3，0），C（0，3）坐标代入得： ， 解得 k=﹣1，b=3， ∴y=﹣x+3． 设 E 点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则 P（x，0），F（x，﹣x+3）， ∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x． ∵四边形 ODEF 是平行四边形， ∴EF=OD=2， ∴﹣x2+3x=2，即 x2﹣3x+2=0， 解得 x=1 或 x=2， ∴P 点坐标为（1，0）或（2，0）． 例 3 、 如 图 ， 抛 物 线 与 轴 交 于 点 C ， 与 轴 交 于 A 、 B 两 点 ， ， ． （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）设点 E 在 轴上，点 F 在抛物线上，如果 A、C、E、F 构成平行四边形，请写出点 E 的坐标（不必书写计算过程）． 【解析】解：（1）∵ ∴C (0,3) ………………………………………………1 分 又∵tan∠OCA= ∴A（1，0）……………………………………………1 分 又∵S△ABC=6 ∴ 32 ++= bxaxy y x 3 1tan =∠OCA 6=∆ABCS x 32 ++= bxaxy 3 1 632 1 =×× AB C AB O y x4 ∴AB=4 …………………………………………………1 分 ∴B（ ，0）…………………………………………1 分 （2）把 A（1，0）、B（ ，0）代入 得： …………………………………………1 分 ∴ ， ∴ ……………………………………2 分 ∵ ∴顶点坐标（ ， ）………………………………1 分 （3）①AC 为平行四边形的一边时 E1 析( ，0) ………………………………………1 分 E2（ ，0）………………………………1 分 E3（ ，0）………………………………1 分 ②AC 为平行四边形的对角线时 E4（3，0）…………………………………………1 分 例 4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A（3，0）、B（0，﹣3），点 P 是直线 AB 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M，设点 P 的横坐标为 t． （1）分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式． （2）若点 P 在第四象限，连接 AM、BM，当线段 PM 最长时，求△ABM 的面积． （3）是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在， 请直接写出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 3− 3− 32 ++= bxaxy    +−= ++= 3390 30 ba ba 1−=a 2−=b 322 +−−= xxy 4)1( 2 ++−= xy 1− 4 1− −− 2 7 +− 2 75 【解析】： （1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把 A（3，0）B（0，﹣3）分别代入 y=x2+mx+n 与 y=kx+b，得到关于 m、n 的两个方程组，解方程组即可； （2）设点 P 的坐标是（t，t﹣3），则 M（t，t2﹣2t﹣3），用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标 得到 PM 的长，即 PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到 当 t=﹣ = 时，PM 最长为 = ，再利用三角形的面积公式利用 S△ABM=S△BPM+S△APM 计算即可； （3）由 PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形 为平行四边形，然后讨论：当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有，所以不可能；当 P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当 P 在第三象限：PM=OB=3， t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值． 【答案】解：（1）把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=x2+mx+n，得 解得 ，所以抛物线的解析式是 y=x2﹣2x﹣3． 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b， 把 A（3，0）B（0，﹣3）代入 y=kx+b，得 ，解得 ， 所以直线 AB 的解析式是 y=x﹣3； （2）设点 P 的坐标是（t，t﹣3），则 M（t，t2﹣2t﹣3）， 因为 p 在第四象限， 所以 PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t， 当 t=﹣ = 时，二次函数的最大值，即 PM 最长值为 = ， 则 S△ABM=S△BPM+S△APM= = ． （3）存在，理由如下： ∵PM∥OB， ∴当 PM=OB 时，点 P、M、B、O 为顶点的四边形为平行四边形， ①当 P 在第四象限：PM=OB=3，PM 最长时只有 ，所以不可能有 PM=3． 3 2 9 4 3 2 9 4 9 46 x y A O C B （第 5 题图） x y A O C B （第 5 题图） 'N P N M H 'M ②当 P 在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得 t1= ，t2= （舍去），所以 P 点的横坐标是 ； ③当 P 在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得 t1= （舍去），t2= ，所以 P 点 的横坐标是 ． 所以 P 点的横坐标是 或 ． 例 5、如图，抛物线经过 三点. (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标； (3)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A,C,M,N 四点构成的四边形为 平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 ， 根据题意，得 ， 解得 ∴抛物线的解析式为： ………(3 分) （2）由题意知，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B,连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P，则 P 点 即为所求. 5( 1,0), (5,0), (0, )2A B C− − 2y ax bx c= + + 0, 25 5 0, 5.2 a b c a b c c   − + =  + + =   = − 1 ,2 2, 5.2 a b c  =  = −   = −  21 52 .2 2y x x= − −7 设直线 BC 的解析式为 ， 由题意，得 解得 ∴直线 BC 的解析式为 …………(6 分) ∵抛物线 的对称轴是 ， ∴当 时， ∴点 P 的坐标是 . …………(7 分) （3）存在 …………………………(8 分) (i)当存在的点 N 在 x 轴的下方时，如图所示，∵四边形 ACNM 是平行四边形，∴CN∥x 轴，∴ 点 C 与点 N 关于对称轴 x=2 对称，∵C 点的坐标为 ，∴点 N 的坐标为 ………………………(11 分) （II）当存在的点 在 x 轴上方时，如图所示，作 轴于点 H，∵四边形 是平行四边形，∴ , ∴Rt△CAO ≌Rt△ ,∴ . ∵点 C 的坐标为 ,即 N 点的纵坐标为 ， ∴ 即 解得 ∴点 的坐标为 和 . 综上所述，满足题目条件的点 N 共有三个， 分别为 ， ， ………………………(13 分) y kx b= + 5 0, 5.2 k b b + = = − 1 ,2 5.2 k b  =  = − 1 5.2 2y x= − 21 522 2y x x= − − 2x = 2x = 1 5 3.2 2 2y x= − = − 3(2, )2 − 5(0, )2 − 5(4, ).2 − 'N 'N H x⊥ ' 'ACM N ' ' ' ',AC M N N M H CAO= ∠ = ∠ ' 'N M H 'N H OC= '5 5(0, ),2 2N H− ∴ = 5 2 21 5 52 ,2 2 2x x− − = 2 4 10 0x x− − = 1 22 14, 2 14.x x= + = − 'N 5(2 14, )2 − 5(2 14, )2 + 5(4, ).2 − 5(2 14, )2 + 5(2 14, )2 −