2020年九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质讲解与练习（含解析新人教版）.docx

1 专题 24.3 正多边形和圆（测试） 一、单选题 1．若正多边形的一个中心角是 30°，则该正多边形的边数是(　　) A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【解析】 ． 故这个正多边形的边数为 12． 故选：B． 2．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（　　） A．相等 B．互余 C．互补 D．互余或互补 【答案】A 【解析】设正多边形是正 n 边形，则它的一边所对的中心角是 ， 正多边形的外角和是 360°，则每个外角也是 ， 所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等， 故选 A． 3．在半径为 R 的圆上依次截取等于 R 的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（　　） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】D 【解析】 解：由题意这个正 n 边形的中心角=60°， ∴n= =6 ∴这个多边形是正六边形， 故选：D． 4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 的正六边形.则原来的纸带宽为（ ） A．1 B． C． D．2 0 0360 30 12÷ = 360 n ° 360 n ° 360 60 ° ° 2 32 【答案】C 【解析】如图，作 ， 依题可得： 是边长为 2 的等边三角形， 在 中， ∵ ， ， ∴ ， 即原来的纸宽为 . 故答案为：C. 5．已知一个正六边形的边心距为 ，则它的外接圆的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：如图，六边形 ABCDEF 为正六边形，作 OH⊥AB 于 H，连接 OA， ∴OA 为正六边形 ABCDEF 的外接圆的半径，OH 为正六边形 ABCDEF 的边心距， ∴OH= ， 在 Rt 中，∠AOH= =30°， ∴cos∠AOH= ， ∴OA=2， ∴它的外接圆的面积= =4π． 故选：C． BG AC⊥ ABC∆ Rt BGA∆ 2AB = 1AG = 3BG = 3 3 π 3π 4π 12π 3 AOH 180 6 ° OH 3 3 OA OA 2 = = 2π OA（ ）3 6．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与 AB 的比是(　　) A．2﹣ B． C． D． 【答案】A 【解析】 过 E 作 EF⊥AD 于 F，过 G 作 GH⊥AD 于 H， 则△AEF 与△DGH 是等腰直角三角形，四边形 EFHG 是矩形， ∴AF＝EF＝DH＝GH，EG＝FH， 设 AF＝EF＝GH＝DH＝k， ∴AE＝DG＝ k， ∴EG＝2AE＝2 k， ∴AB＝AD＝2 k+2k， ∴正八边形边长与 AB 的比＝ ， 故选 A． 7．如图，在半径为 6 的⊙O 中，正方形 AGDH 与正六边形 ABCDEF 都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为 （　　） 2 3 2 2 1 2 2 2 + 2 2 2 + 2 2 2 2 2k 2 2 2 2k 2k = − +4 A．27﹣9 B．54﹣18 C．18 D．54 【答案】B 【解析】解：设 EF 交 AH 于 M、交 HD 于 N，连接 OF、OE、MN，如图所示： 根据题意得：△EFO 是等边三角形，△HMN 是等腰直角三角形， ∴EF＝OF＝6， ∴△EFO 的高为：OF•sin60°＝6× ＝ ，MN＝2（6﹣ ）＝12﹣ ， ∴FM＝ （6﹣12+ ）＝ ﹣3， ∴阴影部分的面积＝4S△AFM＝4× （ ﹣3）× ＝54﹣ ； 故选：B． 8．一个圆形餐桌直径为 2 米，高 1 米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌 布的每边长度为（　　）米 A． B．4 C． D． 【答案】A 【解析】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即 2+1+1=4（米）， 设正方形边长是 x 米，则 x2+x2=42， 3 3 3 3 2 3 3 3 3 6 3 1 2 6 3 3 3 1 2 3 3 3 3 18 3 1 2 x x 4 2 4π5 解得：x=2 ， 所以正方形桌布的边长是 2 米． 故选：A． 9．下面给出五个命题 (1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆 (2)各边相等的圆外切多边形是正多边形 (3)各角相等的圆内接多边形是正多边形 (4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形 (5)正 n 边形的中心角 ，且与每一个外角相等 其中真命题有(　　) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】A 【解析】解：(1)正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确； (2)各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误； (3)圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误； (4)边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是 中心对称图形； (5)正 n 边形的中心角 ，且与每一个外角相等． 故正确的是(1)(5)．共有 2 个． 故选：A． 10．一个圆的内接正三角形的边长为 ，则该圆的内接正方形的边长为( ) A． B．4 C． D． 【答案】D 【解析】根据题意画图如下：过点 O 作 OD⊥BC 于 D，连接 OB， ∴BD=CD= BC= ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC=60°， 2 2 360 na n °= 360 na n °= 2 3 2 2 3 2 2 1 2 36 ∴∠OBD=30°， ∴OD= OB， ∴OB2-( OB)2=BD2， 解得：OB=2，即圆的半径为 2， ∴该圆的内接正方形的对角线长为 4， 设正方形的边长为 x， ∴x2+x2=42， 解得 x= . ∴该圆的内接正方形的边长为 . 故选 D. 11．如图，⊙O 是正六边形 ABCDEF 的外接圆，P 是弧 EF 上一点，则∠BPD 的度数是(　　) A．30° B．60° C．55° D．75° 【答案】B 【解析】连接 OB，OD， ∵六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴∠BOD＝360∘ 3 ＝120°， ∴∠BPD＝1 2∠BOD＝60°， 故选：B． 1 2 1 2 2 2 2 27 12．距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增 加，它的周长就越接近圆周长)，他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正 24576 边形，将圆周率精确 到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算 得的圆周率的近似值是( ) A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.14 【答案】B 【解析】 解：由题意 n=6 时，π≈L d = 6r 2r=3， 故选：B． 13．如图，用四根长为 的铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将它的四边按图中的方式 向外等距离移动 ，同时添加另外四根长为 的铁丝（虚线部分）得到一个新的正八边形，则 的 值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题意可知：△ABC 是等腰直角三角形，AB=5，AC=BC=a． 则有：a2+a2=52， ∴a= 或- （舍弃） 5cm a cm 5cm a 4cm 5cm 5 2cm 5 2 2 cm 5 2 2 5 2 28 故选：D． 14．如图，将边长为 5 的正六边形 沿直线 折叠，则图中阴影部分周长为（ ） A．20 B．24 C．30 D．35 【答案】C 【解析】由翻折不变性可知，阴影部分的周长等于正六边形 ABCDEF 的周长=5×6=30， 故选：C． 15．如图，已知 的周长等于 ，则它的内接正六边形 ABCDEF 的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，连接 OA，OB，设⊙O 的半径为 r， ∵⊙O 的周长等于 6πcm， ∴2πr=6π， 解得：r=3， ∴⊙O 的半径为 3cm，即 OA=3cm， ∵六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOB= ×360°=60°，OA=OB， ∴△OAB 是等边三角形， ∴AB=OA=3cm， ∵OH⊥AB， ∴AH= AB， ABCDEF MN O 6 cmπ 9 3 4 27 3 4 27 3 2 27 3 1 6 1 29 ∴AB=OA=3cm， ∴AH= cm，OH= = cm， ∴S 正六边形 ABCDEF=6S△OAB=6× ×3× = （cm2）． 故选 C. 16．⊙O 是一个正 n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，则 n 的值为（ ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】⊙O 是一个正 n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正 n 边形的边长相等， 则这个正 n 边形的中心角是 60°， n 的值为 6， 故选：C 二、填空题 17．若正多边形的一个外角为 60°，则这个正多边形的中心角的度数是___________． 【答案】60° 【解析】∵正多边形的一个外角为 60°， ∴正多边形的边数为360° 60° =6， 即正多边形为六边形， ∴这个正多边形的中心角的度数=360° 6 =60°． 故答案为 60° 18．如图，六边形 ABCDEF 是正六边形，若 l1∥l2，则∠1﹣∠2＝_____． 3 2 2 2OA AH− 3 3 2 1 2 3 3 2 27 3 2 360 60 6÷ ° =10 【答案】60° 【解析】解：如图，过 A 作 l∥l1，则∠4＝∠2， ∵六边形 ABCDEF 是正六边形， ∴∠FAB＝120°，即∠4+∠3＝120°， ∴∠2+∠3＝120°，即∠3＝120°﹣∠2， ∵l1∥l2， ∴l∥l2， ∴∠1+∠3＝180°， ∴∠1+120°﹣∠2＝180°， ∴∠1﹣∠2＝180°﹣120°＝60°， 故答案为：60°． 19．如图，正十二边形 A1A2…A12，连接 A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝_____． 【答案】75° 【解析】解：11 设该正十二边形的中心为 O，如图，连接 A10O 和 A3O， 由题意知， ⊙O 的周长， ∴∠A3OA10＝ ＝150°， ∴∠A3A7A10＝75°， 故答案为：75°． 20．已知正方形 MNKO 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形外边，使 OK 边与 AB 边重合， 如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点 B 顺时针旋转，使 KN 边与 BC 边重合，完成第一 次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 NM 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；………在这样连续 6 次旋转的过 程中，点 M 在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（　　） A． B．﹣2.2 C．2.3 D．﹣2.3 【答案】A 【解析】如图， 3 7 10 5 12A A A = 5 36012 °× 3 212 ∵正方形 MNKO 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1 ∴第一次旋转后点 M1 纵坐标坐标为 ，第二次、第三次旋转后点 M2（M3）的纵坐标为﹣ ，四次旋转 后点 M4 的纵坐标为﹣ ﹣ ，第五次旋转后点 M5 的纵坐标为 + ，第六次旋转后的点 M6 的纵坐 标为 ． 故选：A． 三、解答题 21．如图，已知 ． （1）用尺规作正六边形，使得 是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹； （2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【解析】解：（1）如图所示： 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 O O13 , （2）如图所示： 22．如图是由 7 个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六 边形的边长为 1，△ABC 的顶点都在格点上，求△ABC 的面积． 【答案】2 . 【解析】延长 AB，再作出过点 C 与格点所在的直线，交于格点 E. ∵正六边形的边长为 1， ∴正六边形的半径是 1，则 CE＝4， 由题意得中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是 ， 则△BCE 的边 EC 上的高是 ，△ACE 边 EC 上的高是 ， 则 S△ABC＝S△AEC－S△BEC＝ ×4×( － )＝2 . 23．回顾旧知：在探究有关正多边形的有关性质时，我们是从那几个方面展开的？探究的方法与过程又是 怎样的？（不要求回答） 3 3 3 3 2 5 3 2 1 2 5 3 2 3 3 2 314 温馨提示，如图 1，是一个边长为 a 的正六边形．我们知道它具有如下的性质：①正六边形的每条边长度相 等；②正六边形的六个内角相等，都是 120°；③正六边形的内角和为 720°；④正六边形的外角和为 360°．等． 解答问题： （1）观察图 2，请你在下面的横线上，再写出边长为 a 的正六边形所具有不同于上述的性质（不少于 5 条）： ． （2）尺规作图：在图 2 中作出圆内接正六边形的内切圆（不要求写作法，只保留作图痕迹）； （3）求出这个正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值． 【答案】(1)见解析；（2）作图见解析；（3）2 3 3 ． 【解析】（1）①正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ②正六边形的面积为：3 3 2 a2，周长为 6a； ③正六边形有一个内切圆、外接圆，它们是同心圆； ④圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧长度相等； ⑤圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧的弧度相等； ⑥圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的长度相等； ⑦圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的弧度相等； ⑧圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的圆心角（中心角）相等，都是 60°； ⑨圆内接正六边形的边长等于圆的半径； ⑩圆内接正六边形的边心距为： 3 2 a 等． （2）如图 2 所示：15 （3）如图 2，连结 EO，在 Rt△ONE 中， ∵OE=DE=a， ∠EON=1 2DOE=30°， ∴OE= 3 2 a， ∴边长为 a 正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值为： a 3 2 a = 2 3 3 ． 24．（1）已知：如图 1，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，点 P 为弧 BC 上一动点，求证：PA=PB+PC． 下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法． 证明：在 AP 上截取 AE=CP，连接 BE ∵△ABC 是正三角形 ∴AB=CB ∵∠1 和∠2 的同弧圆周角 ∴∠1=∠2 ∴△ABE≌△CBP （2）如图 2，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 为弧 BC 上一动点，求证：PA=PC+ PB． （3）如图 3，六边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，点 P 为弧 BC 上一动点，请探究 PA、PB、PC 三者之间 有何数量关系，直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）PA=PC+ PB 【解析】证明：（1）延长 BP 至 E，使 PE＝PC， 2 316 连接 CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°， ∴∠CPE＝60°， ∴△PCE 是等边三角形， ∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°； 又∵∠EBC＝∠PAC， ∴△BEC≌△APC， ∴PA＝BE＝PB＋PC． （2）过点 B 作 BE⊥PB 交 PA 于 E． ∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90° ∴∠1＝∠3， 又∵∠APB＝45°， ∴BP＝BE，∴； 又∵AB＝BC， ∴△ABE≌△CBP， ∴PC＝AE． ∴ ． （3）答： ； 证明：在 AP 上截取 AQ＝PC， 连接 BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC， ∴△ABQ≌△CBP， ∴BQ＝BP． 又∵∠APB＝30°， PE 2PB= PA AE PE PC 2PB= + = + PA 3PB PC= +17 ∴ PB ∴ PB+PC 25．如图①②③④，M，N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC，正方形 ABCD，正五边形 ABCDE，…，正 n 边形 ABCDEFG…的边 AB，BC 上的点，且 BM＝CN，连接 OM，ON. (1)求图①中∠MON 的度数； (2)图②中，∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________； (3)试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系(直接写出答案)． 【答案】 90° 72° 【解析】 (1)方法一：如图①，连接 OB，OC. 图① ∵正三角形 ABC 内接于⊙O， ∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°. 又∵BM＝CN，OB＝OC， ∴△OBM≌△OCN， ∴∠BOM＝∠CON， ∴∠MON＝∠BOC＝120°. 方法二：如图②，连接 OA，OB. 图② PQ 3= PA PQ AQ 3= + =18 ∵正三角形 ABC 内接于⊙O， ∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，∴AM＝BN. 又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON， ∴∠AOM＝∠BON， ∴∠MON＝∠AOB＝120°. (2)90°　72°　(3)∠MON＝3600 n . 26．如图，一个圆形街心花园，有三个出口 A，B，C，每两个出口之间有一条 60 米长的道路，组成正三角 形 ABC，在中心点 O 处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路 OD，OE，OF，使另一出口 D、E、F 分别落在 ΔABC 分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草. (1)请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图 1，图 2 中，并附简单说明. (2)要使三条小路把 ΔABC 分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图 3 中，并求此时三条小 路的总长. (3)请你探究出一种一般方法，使得出口 D 不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口 E、F 的位置， 请写明这个方法. (4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图 5 予以说明，这种方法能推广到正 n 边形吗？ 【答案】（1）方案 1：D，E，F 与 A，B，C 重合，方案 2：OD，OE，OF 分别垂直于 AB，BC，AC；（2）60； （3）如图（4）见解析；（4）可推广到正 n 边形. 【解析】（1）方案 1：D，E，F 与 A，B，C 重合，连 OD，OE，OF. 方案 2：OD，OE，OF 分别垂直于 AB，BC，AC.19 （2）OD//AC，OE//AB，OF//BC，　如图（3）, 　作 OM⊥BC 于 M，连 OB， 　∵ΔABC 是等边 Δ，∴BM=1 2BC=30，且∠OBM=30°， 　∴OM=10 3， ∵OE//AB，∴∠OEM=60°，OE==20， 　又 OE=OF=OD，∴OE+OF+OD=3OE=60， 答：略. （3）如图（4）, 方法 1：在 BC，CA，AB 上分别截取 BE=CF=AD，连结 OD，OE，OF， 方法 2：在 AB 上任取一点 D，连 OD，逆时针旋转 OD120°两次，得 E，F. （4）设 M1 为 A1A2 上任一点，在各边上分别取 A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1，连 OM1……OM5 即可， ∴可推广到正 n 边形.