高三 理科数学试题 第 1 页（共 4 页）
21 届高三上期开学测试
数学（理科）试题
说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在第Ⅱ卷的答题表（答题卡）中。
第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知全集 UR ，集合 { | l g (1 ) }A x y x ， 1{ | }B x y
x
，则 ()UC A B （ ）
A． (1, ) B． (0 ,1) C． (0 , ) D． [1, )
2．已知 aR ，若复数 1
1
ai
ai
是纯虚数，则 a 的值为（ ）
A． 1 B． 2 C． 1 D． 2
3．将函数 s in ( ) 4yx的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再 向右平移
6
个单位，
则所得函数图象的解析式为（ ）
A． 5sin( )2 24
xy B． sin( )23
xy
C． 5sin( )2 12
xy D． 7sin(2 )12yx
4．已知向量 ( 3 ,2 )a ， (2 ,3 )b ，则下列结论正确的是（ ）
A． ab B．( ) ( )a b a b C． //ab D．( ) / /( )a b a b
5．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十
七，要将第八数来言”.题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，
年龄小的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是（ ）
A．174 斤 B．184 斤 C．191 斤 D．201 斤
6． 在 [ 1,1] 上随机取一个数 k ，则事件“直线 y k x 与圆 22( 13) 25xy 相交”发生的概率为（ ）
A． 1
2 B． 5
13 C． 5
12 D． 3
4
7．对于直线 m ， n 和平面 ， ，则 的一个充分条件是（ ）
A． mn ， //m ， //n B． mn ， m ， n
C． //mn， n ， m D． //mn， m ， n
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8．函数 2 2exfxxx 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
9．冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正
整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式．该
结论至今既没被证明，也没被证伪．右边程序框图示意了冰雹猜想的
变换规则，则输出的i （ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
10．以 A 为顶点的三棱锥 A﹣BCD，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥
外接球的表面积为 8π，则以 A 为顶点，以面 BCD 为下底面的三棱锥
的侧面积之和的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．7
11．设 mR ，实数 x ， y 满足 2 3 6 0
3 2 6 0
ym
xy
xy
，若 | 2 | 1 8xy 恒成
立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． 33m B． 66m
C． 36m D． 60m
12．已知函数
3| log|,03
()
cos,393
xx
fx
xx
，若存在实数 1x ， 2x ， 3x ， 4x ，当 1 2 3 4x x x x 时，
满足 1234()()()()fxfxfxfx ，则 1234xxxx 的取值范围是（ ）
A． 29(7, ) 4 B． 135(21,) 4 C．[27,30) D． 135(27, )4
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 二项式
6
2 12x x
的展开式中常数项是 .
14. 在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，若 sinsinsin 2sinsin
aA bB cC CaB
，
则C 的大小为 ．
15. 已知直线 ykxt与圆 22( 1) 1xy 相切，且与抛物线 2:4C x y 交于不同的两点 M ， N ，则
实数t 的取值范围是 .
16. 若 1a ，设函数 ()4 xfxax 的零点为 m ， ( )log4 ag xxx 的零点为 n ，则 11
mn 的取值
范围是 .
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三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必
考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17. （12 分）
已知点 11, 2
是函数 0,1xfxaaa 的图象上一点，数列 na 的前 n 项和是 2nS f n．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 1l o gnanba，求数列 nnab 的前 项和 nT .
18. （12 分）
某土特产超市为预估 2021 年元旦期间游客购买土特产的情况，对 2020 年元旦期间的 90 位游客购买
情况进行统计，得到如下人数分布表.
购买金额（元） 0 ,1 5 1 5 ,3 0 3 0 ,4 5 4 5 ,6 0 6 0 ,7 5 7 5 ,9 0
人数 10 15 20 15 20 10
（1）根据以上数据完成 22 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为购买金额是否少于 60 元与性别
有关.
不少于 60 元 少于 60 元 合计
男 40
女 18
合计
（2）为吸引游客，该超市推出一种优惠方案，购买金额不少于 60 元可抽奖 3 次，每次中奖概率为 p
（每次抽奖互不影响，且 的值等于人数分布表中购买金额不少于 60 元的频率），中奖 1 次减 5 元，中奖
2 次减 10 元，中奖 3 次减 15 元.若游客甲计划购买 80 元的土特产，请列出实际付款数 X （元）的分布列
并求其数学期望.
附：参考公式和数据：
2
2 nadbcK abcdacbd
， nabcd .
附表：
0k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
2
0P K k 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
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19. （12 分）
如图，已知三棱柱 111A B C A B C 中，侧棱与底面垂直，且 1 2AAABAC ， A B A C ，
M 、 N 分别是 1CC 、 BC 的中点，点 P 在线段 11AB 上，且 11A P P B ．
（1）求证：不论 取何值，总有 A M P N ；
（2）当 1 时，求平面 P M N 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值.
20. （12 分）
已知椭圆
22
22: 1( 0)xyE a bab 四个顶点中的三个是边长为 23的等边三角形的顶点.
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设直线 y k x m与圆
2
222: 3
bO x y 相切且交椭圆 于两点 M ， N ，求线段 ||MN 的最大值.
21. （12 分）
已知函数 ()(sincos)e xfxxxx ， ()fx 为 ()fx的导函数．
（1）设 ( ) ( ) ( )g x f x f x，求 ()gx 的单调区间；
（2）若 0x ，证明： ()1fxx ．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22. [选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知直线 l 的参数方程为 1cos
1sin
xt
yt
（其中 t 为参数），以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2sin ．
（1）若点 ( , )P x y 在直线 上，且 2 3xy
xy
，求直线 的斜率；
（2）若
4
，求曲线 上的点到直线 的距离的最大值．
23. [选修 4－5：不等式选讲] （10 分）
已知 ( ) |1||2 |f xxaxa （其中 aR ）．
（1）若 1a ，求不等式 ()1fx 的解集；
（2）若不等式 ( ) 4f x x对 [2,8)x 恒成立，求 a 的取值范围．
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