2020学年高三上学期8月联考数学（试卷）.pdf

第 1 页，共 5 页 2020 学年高三上学期 8 月执信、广雅、六中三校联考试卷 数学 命题学校：广州市第六中学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 注意事项： 1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在 答题卡指定区域内。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 其中第 1 题~第 10 题为单项选择题，在给出的四个 选项中，只有一项符合要求；第 11 题和第 12 题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求， 全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分） 1.已知i 是虚数单位，若复数 2 1z i  ，则复数 z 的共轭复数为（ ） A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i 2.已知集合 { || 1| 3}A x x   ，  3,xB y y e x R    ，则 AB （ ） A．[ 2,4] B．[ 2,3) C．[ 2,3] D． (3,4] 3.命题“ 1x， 1 lnxx ”的否定是（ ） A． 1x， 1 lnxx B． ， C． 0 1x， 001 lnxx D． 0 1x， 001 lnxx 4.2020 年初，全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战，各地医护人员分别乘坐 6 架我国自主生产的“运 20”大型运输机，编号为 1，2，3，4，5，6 号，要求到达武汉天河飞机场时，每 五分钟降落一架，其中 1 号与 6 号相邻降落，则不同的安排方法有（ ） A．60 B．120 C．144 D．240 5.已知抛物线 2 2 ( 0)y px p的准线与圆 2240x y y   相交所得的弦长为 23，则 p 的值为（ ） A． 1 2 B．1 C．2 D．4 6.已知 为锐角，若 4cos( )65  ，则sin(2 )6   的值为（ ） A． 7 25 B． 7 25 C． 9 25 D． 9 25 第 2 页，共 5 页 7π 8 3π 8 -1 1 x y O 7.过双曲线 22 221xy ab( 0, 0)ab的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于 ,AB两点，若 B 为线段 FA 的中点，且OB FA （O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C． 2 D． 5 8.函数 ( ) sin( )( 0,0 )2f x x       其中 的图象如下图所示，为了得到 sinyx 的图象，则需将 ()y f x 的图象（ ） A．横坐标缩短到原来的 1 2 ，再向右平移 4  个单位 B．横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 8  个单位 C．横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 4  个单位 D．横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 8  个单位 9. 在正项等比数列{}na 中， 2 3 51, 16a a a   ．数列 的前 n 项和记为 nS ，前 项积记为 nT ，则满足 nnST 的最大正整数 n 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10. 如图 1，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形 ABCD的中心为 ．点 , , ,E F G H 为 圆 上的点， ABE△ , BCF△ , CDG△ , ADH△ 分别是以 , , ,AB BC CD DA为底边的等腰三角形．沿虚 线剪开后，分别以 为折痕折起 , , , ，使得 重 合得到一个四棱锥 P ABCD （如图 2）．当四棱锥 的侧面积是底面积的 2 倍时，异面直线 PB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A． 5 5 B． 2 2 C． 25 5 D． 23 3 C D A HF E O G B AB C D P 图 1 图 2 第 3 页，共 5 页 11.（多选）设 0a  ， 0b  ，则下列不等式恒成立的是（ ） A．  11 4ab ab    B． 2 21aa C． 22ababba   D． 22ab abab   12. （多选）对于定义城为 R 的函数 ()fx，若满足：① (0) 0f  ；②当 xR 且 0x  时，都有 ( ) 0xf x； ③当 120xx 且 12| | | |xx 时，都有 12( ) ( )f x f x ，则称 ()fx为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数” 的是（ ） A． 32 1()f x x x   B． 2 ( ) 1xf x e x   C． 3( ) sinf x x x D． 4 ln( 1), 0() 2 , 0 xxfx xx      二、填空题（本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知向量  ,2am ，  1, 3b ，若 ab ，则||a  . 14 ． 函数 1 cos() sin xfx x  的 图 象 在 点 ( ,1)2  处 的 切 线 与 直线 10ax y   平行， 则 实 数 a 的值 为 . 15．如果 (3 )1 nx x 的展开式中各项系数之和为32，则展开式中 2 1 x 的系数是 . 16．已知函数 ()fx为偶函数，当 0x  时， ( ) ln( )f x x ax   .若直线 yx 与曲线 ()y f x 至少有两个 交点，则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分） 17.（本小题 10 分）已知 ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ， 3 costan tan cos cos ABC BC . （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若 4a  ， 5bc，求 ABC 的面积. 18.（本小题 12 分）设数列 na 的前 n 项和为 ()nS n N  ，且满足： 123 (2 1) 2na a n a n    + 2 nS . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）设数列 12n n n b a   ，求数列 nb 的前 项和 nT . 第 4 页，共 5 页 19. （本小题 12 分）如图，在梯形 ABCD中, //AB CD ， 2AD CD CB   ， 60ABC   ，矩形 ACFE 中， 2AE  ，又有 22BF  . （Ⅰ）求证： BC ⊥平面 ACFE ； （Ⅱ）求直线 BD 与平面 BEF 所成角的正弦值. 20. （本小题 12 分）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测 120 个零件的长 度（单位：分米），按数据分成 1.21.3， ， 1.3,1.4 ， 1.4,1.5 ， 1.5,1.6 ， 1.6,1.7 ， 1.7,1.8 这 6 组， 得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于 1.59 分米的零件有 20 个，其长度分别为 1.59，1.59， 1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71， 1.72，1.74，以这 120 个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率. （Ⅰ）求这批零件的长度大于 1.60 分米的频率，并求频率分布直方图中 m ， n ，t 的值； （Ⅱ）若从这批零件中随机选取 3 个，记 X 为抽取的零件长度在 1.4,1.6 的个数，求 X 的分布列和数学 期望； （ Ⅲ ） 若 变 量 S 满足   0.6826 0.05PS         且  2 2 0.9544PS        0.05 ，则称变量 S 满足近似于正态分布  2,N  的概率分布.如果这批零件的长度Y （单位：分米）满 足近似于正态分布  1.5,0.01N 的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收；否则，公司将拒 绝签收.试问，该批零件能否被签收？ 第 5 页，共 5 页 21.（本小题 12 分）如图，已知椭圆 2 2 2:1xCya 的上顶点为 A ，右焦点为 F ，直线 AF 与圆 22: 6 2 7 0M x y x y     相切，其中 1a  . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）不过点 A 的动直线l 与椭圆 C 相交于 ,PQ两点，且 AP AQ ，证明：动直线l 过定点，并且求出该 定点坐标. 22.（本小题 12 分）已知函数 2( ) lnf x a x x，其中 aR . （Ⅰ）讨论 ()fx的单调性； （Ⅱ）当 1a  时，证明: 2( ) 1f x x x   ； （Ⅲ）试比较 2 2 2 2 2 2 2 2 ln2 ln3 ln4 ln 234 n n    与      1 2 1 21 nn n   *( 2)n N n且 的大小，并证明你的结 论.