浙江省宁海中学2021届高三第一次模拟数学试题卷.pdf

高三数学试题卷 第 页（共 4 页） 1 绝密★考试结束前 宁海中学 2021 届高三第一次模拟考试 数 学 2020.9 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页；满分 150 分；考试时间 120 分钟。 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和 答题纸规定的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本 试题卷上的作答一律无效。 参考公式： 若事件 A，B 互斥，则 ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 若事件 A，B 相互独立，则 ( ) ( ) ( )P AB P A P B= 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 ( ) C (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k nnP k p p k n−= − = 台体的体积公式 1 1 2 2 1 () 3 V S S S S h= + + 其中 12,SS分别表示台体的上、下底面积，h 表 示台体的高 柱体的体积公式V Sh= 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式 1 3 V Sh= 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24SR= 球的体积公式 34 3 VR= 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．函数 2( ) ln( )f x x x=+的定义域是 A．(0, )+ B．[0, )+ C．(1, )+ D．[1, )+ 2．已知 ,ab Z ，复数 iz a b=+ 满足 i3 22z = − + ，则 ab+= A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A． 3  B． 2 3  C．  D． 4 3  2 1 1 1 1 俯视图 侧视图主视图 第 3 题图 高三数学试题卷 第 页（共 4 页） 2 4．若实数 ,xy满足约束条件 0 0 2 1 0 xy xy xy   +  − +  ，则 z y x=−的最小值是 A． 1 3 B． 2 3 C．1 D． 4 3 5．已知 ,AB是平面 上的点， 11,AB是平面  上的点，且有 11//AA BB ，则// 是 11AA BB= 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数 sin e lnxy x x=+ 的图像可能是 A． B． C． D． 7．已知 ,ab R ，不等式 x ax b xx ++ ++ 2 2 1 22 在 x R 上恒成立，则 A． a  0 B． b  0 C． ab02 D． ab04 8．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行 1 个 单位，设爬行 n 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 n ，则下列说法错误．．的是 A． ()nE  = 0 B． ()nDn = C． ( ) ( )2020 202002PP=  = D． ( ) ( )2020 201800PP=  = 9．对于任意集合 A ，设 ,() ,A xAfx xA =   1 0 ，已知集合 ,S T X ，则对任意的 xX ，下列说法错． 误．的是 A． ( ) ( )STS T f x f x   B． ( ) ( ) X SSf x f x=−1ð C． ( ) ( ) ( )S T S Tf x f x f x= D． ( ) ( ) ( )S T S Tf x f x f x=+ 10．如图所示，平面 平面 l = ，二面角 π π,l− −  43 ，已知 ,AB，直线 AB 与 平面 , 平面  所成角均为 ，与 l 所成角为 ，若 +=sin( ) 1，则 −sin( ) 的最大值是 A． 1 14 B． 1 7 C． 3 14 D． 2 7 y xg x( ) = ln x( ) x x( ) = sin x( ) + ex∙ln x( ) 坐标初始 坐标网格 显示刻度 控刻度线 等单位长 修改刻度 坐标控制 O y x x( ) = sin x( ) + ex∙ln x( ) 坐标初始 坐标网格 显示刻度 控刻度线 等单位长 修改刻度 坐标控制 O y xg x( ) = ln 4∙x( ) x 2 x( ) = sin x( ) + ex∙ln x( ) 坐标初始 坐标网格 显示刻度 控刻度线 等单位长 修改刻度 坐标控制 O y xg x( ) = ln 1 x( ) x x( ) = sin x( ) + ex∙ln x( ) 坐标初始 坐标网格 显示刻度 控刻度线 等单位长 修改刻度 坐标控制 O α l β A B 第 10 题图 高三数学试题卷 第 页（共 4 页） 3 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11．二项式定理（Binomial theorem），又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于 1664-1665 年间 提出。该定理给出两个数之和的整数次幂展开为类似项之和的恒等式。二项式 x + 6( 3) 的展 开式中系数最大的项是 ▲ ；系数之和是 ▲ ． 12．甲、乙、丙、丁和戊 5 名学生进行劳动技术竞赛并决出 1 至 5 名，赛后甲、乙去询问成绩， 老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军。”；对乙说：“你当然不是最差的。”则 5 人 的名次排列可能有 ▲ 种． 13．已知函数 f x A x    = +  ( ) sin( )( 0, ) 2 ，若将 y f x= ()的图像右移  6 ，其相位减少了  3 ， 且此时 fx()为奇函数，则 y f x= ()图像的周期是 ▲ ；其对称中心的坐标为 ▲ ． 14．已知函数 xx fx xx  =  + ,0 () 1 , 0 ，则 ff−=( ( 5)) ▲ ；若实数 a 满足 f f a a( ( )) ，则 的取值 范围是 ▲ ． 15．设数列 a a a a1 2 3 4, , , 满足前三项成等比数列且和为 m ，后三项成公差不为 0 的等差数列且和 为 12，若满足条件的数列个数大于 1，则 的取值范围是 ▲ ． 16．已知直线 l 与双曲线  的两条渐近线交于与 ,AB两点，与 x 轴交于点C ，若O 是坐标原点， ,2OA OC BC AB==，则  的离心率是 ▲ ． 17．已知平面向量 ,,a b c 满足 1, 3 = − − =  b c a b c a b c ，则 2 2 2 32− + +a b c 的最小值 是 ▲ ；此时 =c ▲ ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（本题满分 14 分）在 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，已知 abc， 为三 个相邻的自然数，且 AC= 2 ． （Ⅰ）证明： 2cos cosBC= ； （Ⅱ）若 (0,π)  ， 1sin( ) 2 C +=，求cos 的值． 19．（本题满分 15 分）如 图，在棱台 ABCD EFGH− 中，底面 ABCD 为直角梯形， 90ABC =， 143 1, 2, 3 AB AD EH BC AE= = = = = ，上下底面的距离为 1． （Ⅰ）若 AE CG= ，证明：平面 ACGE ⊥ 平面 ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线 AH 与平面 BCGF 所成角的正弦值． A B C D E F H G 第 19 题图 高三数学试题卷 第 页（共 4 页） 4 20．（本题满分 15 分）如图所示，在 ()f x x= 的图像下有一系列正三角形 * 1 ()n n nA A B n+N ， 记 1n n nA A B+ 的边长为 na ， 3() 2 nnf a b= ． （Ⅰ）求数列   ,nnab的通项公式； （Ⅱ）若数列 nc 满足 1 1 1 1 1 ( )( )( )n n n n n n n c b b b b b b− − + + = + + + ，证明： 23 21 2nc c c −+ + +  ． 21．（本题满分 15 分）如图，已知抛物线 2 2 ( 0)y px p=的焦点为 F ，过点 00( ,0)( 0)A x x  作直 线 l 交抛物线于 ,BC两点，记 12,ABF ACF =  = ． （Ⅰ）若 0xp= ，求 +12cos( )的最小值； （Ⅱ）若对任意的直线 l ， 12,恒为锐角，求 0x 的取值范围． 22．（本题满分 15 分）已知函数 1( ) e cos ( 0)axf x x a−=   ，其中 e 2.71828= 为自然对数的底数． （Ⅰ）若 3a = ，求 ()fx在 π0, 2   上的极值点； （Ⅱ）（i）证明： ()fx在 2 0, 1 a a   + 上单调递增； （ii）讨论函数 1 ( ) ( ) e ag x f x − =−在 π0, 2   上的零点个数． x y f x( ) = x ◆ 初始设置 ◆ 方格模式 ◆ 编辑文本 ◆ 显示文本 ◆ 显示网格 ◆ 显示句柄 O(A1) B1 A2 B2 A3 B3 A4 x y θ2 θ1 ★ 控制点 ★ 控制点 f y( ) = y2 4 ◆ 初始设置 ◆ 方格模式 ◆ 编辑文本 ◆ 显示文本 ◆ 显示网格 ◆ 显示句柄 O F A C B 第 20 题图 第 21 题图