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中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 9 月测试
理科数学答案
一． 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A B B B A D C B A B C
二． 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． ( 2, 1) (1,7)−−
14． (2, 2 2)
15． 120
16． 13
4−
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60 分．
17.解：
（1）由 3sin2
1S == CabABC ，得 4=ab ①…………2 分
又由 44cos2 22222 =−+=−+= baCabbac ，得 822 =+ba ②…………4 分
联立①②解得 2== ba .…………5 分
（2）因为
3
34
sin
c2 == CR ，…………6 分
所以
−+=+=+ AABAba 3
2sinsin3
34)sin(sin3
34
4 3 3 3sin cos 4sin3 2 2 6A A A = + = +
.…………8 分
因为 ΔABC 是锐角三角形，所以
26
，A ，从而
+ 3
2
36
，A ，
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所以
+ 1,2
3
6sin A ，…………10 分
所以 ( 4,32+ba ，即 ba + 的取值范围是( 4,32 .…………12 分
18. 解：
（1）证明：取 PC 中点G ，连接 ,EG FG ，
则 AFDC,EGEG//DC//AF == 2
1 ，…………2 分
所以 AEGF 是平行四边形， AE//FG ，…………3 分
AE PEC 面 ， FG 面 PFC ,
//AE 平面 …………5 分
（2）因为 //AF 平面 PDC ，所以点 ,AF到平面 PCD 的距离相等 …………6 分
由CD AD⊥ ，平面 ⊥PAD 平面 ABCD ，且平面 PAD 平面 =AD ，
可得CD PAD⊥ 平面 ，所以CD AE⊥ ，…………7 分
由 E 是 PD 中点， PAD 是正三角形，所以 PDAE ⊥ ，
…………8 分
CD PD D= ，所以 PCDAE 面⊥ …………9 分
设 aAB 2= ，
则CF 与平面 所成角的正弦值为 =
+
=
4
3
2aCF
AE
4
6 …………11 分
所以 2=a ，即 4AB = .…………12 分
（建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分）
19. 解：
（1）∵ 1
1
31()1 2 2
n
nn
nnaan
−
−= − −−
∴ 11 31()1 2 2
nnnaa
nn
−−= − −−
，…………2 分
由累加法，当 2n 时， 211 3 1 3 1 3 1( ) ( ) ( )1 2 2 2 2 2 2
nna a
n
−− = − − − − − − −
.代入 1
1
2a = 得， 2n 时，
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1
1
11( ) (1 ( ) )1 3 1 1 1 122 (1 ( ) ) 1 ( )12 2 2 2 2 21 ( )2
n
nnna
n
−
−
− − −
= − = + − − = + −
−−
…………4 分
又 1
1
2a = 适合上式，故 *1( ) ( )2
n
na n n n N= + − ．…………5 分
（ 2 ） 解法一：
2
2 352 3 +5 0 02nn
nnS n n S −− − ， 数 列 34n − 的 前 n 项 和 为
235
2
nn− ，…………6 分
令 13 4 2 42
n
nnc a n n n= − + = − − +
，其前 项和为
235
2nn
nnCS −=− ，
…………8 分
则有 1
3
2c = ， 2
1
2c = ， 3
19
8c =− ，故 1 0C ， 2 0C ， 3 0C 。
当 4n 时， 112 4 1 4 022
nn
nc n n n n
= − − + = − − − +
，
则有 0nC .…………11 分
综上所述，不等式成立的n 为1与2 .…………12 分
解法二：令 1
2
n
nbn= −
，其前 项和为 nT ，用错位相减法求和，
231 1 1 1232 2 2 2
n
nTn = − + − + − + + −
，
2 3 4 11 1 1 1 1232 2 2 2 2
n
nTn
+ − = − + − + − + + −
两式相减得：
2 3 13 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
nn
nTn
+ = − + − + − + + − − −
11 1 113 2 2
nn
n
+ = − − − − −
1 1 1
3 3 2 2
nn = − + + −
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所以 2 2 1
9 9 3 2
n
n
nT = − + + −
，…………8 分
则有
2 2 2 1
2 9 9 3 2
n
n
n n nS + = − + + −
.…………9 分
记 224 4 2 1( ) 2 3 +5 2 6 9 9 3 2
n
n
nf n S n n n n = − = − + − + + −
当 1n = 时， (1) 3 0f =；当 2n = 时， (2) 4 0f =；
当 3n 且 n 为奇数， 2 42 6 09nn− + − ， 4 2 1 09 3 2
nn + −
，则 ( ) 0fn
当 且 为偶数，
2 4 4 762 6 32 249 9 9nn− + − − + − = − ， 4 2 1 4 2 1 19 3 2 9 3 2
nnnn + − = +
，
则 .…………11 分
综上所述，不等式成立的 n 为1与 2 .…………12 分
20.解：
（1）由于椭圆C 的离心率
2
2e = ，故 ca 2= . 又 222 cba += ，所以 c=b .
所以椭圆 的方程为 ayx 222 2 =+ .…………2 分
又点
2
21，P 在椭圆上，所以 22 =a ，
所以，椭圆方程为 12
2
2
=+ yx …………3 分
设直线 PA 的斜率为 ( )0kk ，则直线 PB 的斜率为 k- ，
则直线 PA 的方程为 ( )12
2 −=− xky .
代入椭圆方程可得( )( ) ( )( ) 0122211k2 22 =−++−+ xkx
所以 ( )
2
2 1 2
1 12A
k
x k
+
=− +
， ( )2
2
222
2 1 2A
kk
y k
+
=−+
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同理可知， ( )
2
2 1 2
1 12B
k
x k
−
=− + ,
( )2
2
222
2 1 2B
kk
y k
−+
=− + …………5 分
所以 ( ) ( )
( ) ( ) 2
2
24
4
212212
2222 22
==
−−+
+−−+=−
−=
k
k
kk
kkkk
xx
yyk
AB
AB
AB .
故直线 AB 的斜率为定值. …………6 分
（2）设直线 的方程为 txy += 2
2 ，直线 1=x 和直线 AB 相交于点Q ,
则
+ 2
2,1 tQ ，所以 tPQ = .
把 代入 12
2
2
=+ yx 可得 012 22 =−++ ttxx …………8 分
2 2 2=2 4( 1) 0, 2t t t− − △ ，由韦达定理，可知
−=
−=+
1
2
2txx
txx
BA
BA ，
所以( ) ( ) ( ) 22222 241424 tttxxxxxx BABAAB −=−−=−+=− ，
即 ( )222 txx AB −=− .…………10 分
所以 ( ) ( ) ( )22112
222
2
2
1 2222 −−−=−=−= ttttxxPQS AB
所以当 1=t 时， PAB 的面积 S 取得最大值
2
2 .…………12 分
21.解：
（1）由题意得 ( ) xaexf =' ，所以， ( ) 11' == aef ，解得
ea 1= ，…………2 分
又因为 ( ) 111 1 =+= beef ，所以 0=b ，所以 ( ) 1−= xexf .…………3 分
（2）证明：对 x 的取值范围分类讨论：
① 10 x 时， 111 −− xee ， 0ln x ，所以 xxex lnln1 −
有： ( ) xxxxexxxf x 3ln3ln3ln 1 ++=+ − ，
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令 ( ) xxxg 3ln += ，则 ( ) 0331
22
' −=−= x
x
xxxg ，所以 ( )xg 在 ( )1,0 上单调递减，
所以 ( ) ( ) 2
531 = gxg ，即 ( ) 2
533ln3ln3ln 1 ++=+ −
xxxxexxxf x ，
故 10 x 时，不等式成立；…………6 分
② 1x 时，先证明不等式 xex −1 在 )+ ,1x 上恒成立，
令 ( ) ( )11 −= − xxexh x ，则 ( ) 011' −= −xexh ，
所以 ( )xh 在 )+,1 上单调递增，所以 ( ) ( ) 01 = hxh
即不等式 成立，…………8 分
而此时 0ln x ，于是有 ( ) xxxxxexxxf x 3ln3ln3ln 1 ++=+ − ，
要证 ( ) 2
53ln + xxxf 成立，可证其加强条件：
2
53ln + xxx ，
即证： 02
53ln 2 −+ xxx 在 时成立，
令 ( ) ( )12
53ln 2 −+= xxxxxm ，
则 ( ) ( )( )
33
2
23
'
2
432
2
1252
2
561
x
xx
x
xx
xxxxm +−=−+=+−= ，
所以 ( )xm 在
2
3,1 上单调递减，在
+,2
3 上单调递增，
所以 ( ) 3
1
2
3ln2
3 −=
mxm ，…………10 分
由于 e 38
27 ，因此 3
1
2
3 e ，所以 31ln 23
所以 ( ) 03
1
2
3ln2
3 −=
mxm ，
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即 ( ) 02
53ln 2 −+= xxxxm
即
2
53ln + xx
所以 ( ) 2
53ln3ln3ln 1 ++=+ −
xxxxxexxxf x ，故 1x 时，命题成立.
综上，当 0x 时，有 ( ) 2
53ln + xxxf 成立. …………12 分
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
(1) 解: 因为 2||
||
||
||2||
||
||
|| =+ PQ
MN
MN
PQ
PQ
MN
MN
PQ ,
当且仅当 | | | |=| | | |
PQ MN
MN PQ 即| |=|MN|PQ 时取 =“ ”
故 MN PQ=
所以直线 PQ 的倾斜角为 45 135或 ,…………2 分
即直线 的极坐标方程是
5sincos =+ , 或 5sincos =− . …………4 分
(2) 解:因为 24 26 24 26MN PQ ， ,
..故
12
13
||
||
13
12 MN
PQ .…………6 分
又函数
xxxf 2
1)( += 在
2
20， 上单调递减, 在
+，
2
2 上单调递增，
( )fx在
12
13,13
12 上单调递增.
将
12
13,13
12 == xx 分别代入，
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312
457
12
13
2
1
13
12)13
12( =+=f ，
156
241
13
12
2
1
12
13)12
13( =+=f …………9 分
所以
||2
||
||
||
PQ
MN
MN
PQ + 的最大值为
156
241 ，最小值为 457
312 .…………10 分
23. [选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
因为 ,a b R+ ， 3 223a b a b b ab+ = + + ，当且仅当
23
ab
ab
=
+=
即 1
1
a
b
=
=
时取
=“ ”.…………2 分
（1） 23ab+=， 10 2 ab ，可得 11
2 ab
，…………3 分
3
2 2 2 2 2 2 4
1 2 1 1 1 133a b a b b a b+ = + +
当且仅当 1== ba 时，取到最小值 3. …………5 分
（2）因为 ,xy是正数，且 291xy+=
所以，
22 22
22
81 916 4
49 ( ) ( )492 4989 89
yyxx
x x y y
xy xy
+ = + = +++++ ++
2 2 2 2
94
1 4 9( 8 ) ( 9 ) ( ) ( )18 4989
yx
xy
xy
= + + + +++
2
94
1 4 9 1( 8 9 ) ,18 184989
yx
xy
xy
+ + + =
++
…………8 分
当且仅当
94
94 98
4989
yx
yx
xy
++
=
++
时，即
94
4989
yx
xy
=
++
，即 2yx= 时，取等号。
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又 491xy+=， 17 , 17 ,2xy==所以当 时 22
49
2x x y y+++
取到最小值
18
1 .……10 分
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