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湖南六校联考试卷（一）试卷
长沙县第一中学 洞口县第一中学 泸溪县第一中学 永顺县第一中学 双峰县第一中学 浏阳市第一中学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟．第
Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位
号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题
卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！
第 I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集 0,1,2,3,4U ，集合 1,2,3A ， 2,4B ，则()U AB 为( )
A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
2．下列命题中，为真命题的是 ( )
A．若 ac>bc，则 a>b B．若 a>b，c>d，则 ac>bd C．若 a>b，则1
푎bc2，则 a>b
3．已知等比数列{}na 中， 3 11 74a a a ，数列{}nb 是等差数列，且 77ba ，则 59bb（ ）
A．8 B．4 C．16 D．2
4．对于任意两个正整数 m ， n ，定义某种运算“ ”如下：当 m ， n 都为正偶数或正奇数时，
m n m n ；当 m ， n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， m n mn ，则在此定义下，集合
( , ) | 12, *, *M a b a b a b NN中的元素个数是（ ）．
A．10 个 B．15 个 C．16 个 D．18 个
5． ABC 的三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 cos cos
ab
BA ，则 ABC 的形状是（ ）
A．正三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
6．设常数 aR .若
5
2 ax x
的二项展开式中 7x 项的系数为－15，则 a （ ）
A．－2 B．2 C．3 D．－3
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7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一
个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再
回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 221xy，若将军从点
3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为 4xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则
“将军饮马”的最短总路程为（ ）．
A． 17 1— B． 17 2 C． 25 D．32
8．已知 12FF， 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 12PF PF ，线段 1PF 的垂直
平分线过 2F ，若椭圆的离心率为 1e ，双曲线的离心率为 2e ，则 2
1
e2
e2 的最小值为（ ）
A． 6 B．3 C．6 D． 3
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
9．已知i 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）
A．若复数 3iz ，则 13
10 10
i
z ．
B．复数 z 满足 21zi， z 在复平面内对应的点为 ,xy，则 22 21xy ．
C．若复数 1z ， 2z 满足 21z z ，则 12 0zz ． D．复数 13zi 的虚部是 3．
10．下图是某市 6 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空
气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 6 月 1 日至 6 月 13 日中的某一天到达该市，并停
留 2 天．下列说法正确的有（ ）
A．该市 14 天空气质量指数的平均值大于 100
B．此人到达当日空气质量优良的概率为 8
13
C．此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率为 2
13
D．每连续 3 天计算一次空气质量指数的方差，其中第 5 天到第 7 天的方差最大
11．已知四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 的上下底面均为正方形，其中 22AB ， 1 1 1 1 12, 2A B AA BB CC ，
则下述正确的是 ( )
A．该四棱合的高为 3 B． 11AA CC
C．该四棱台的表面积为 26 D．该四棱合外接球的表面积为16
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12．已知函数
2 3 , 0
3 , 0
x x xfx f x x
，以下结论正确的是（ ）
A． fx在区间 4,6 上是增函数 B． 2 2020 4ff
C．若函数 y f x b在 ,6 上有 6 个零点 1,2,3,4,5,6ixi ，则
6
1
9i
i
x
D．若方程 1f x kx恰有 3 个实根，则 11, 13k
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共 10 个题，共 90 分．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的
给 3 分，全部答对的给 5 分．
13．已知 1a ， 6b ， • 4a b a ，则向量 a 与b 的夹角是____
14．已知随机变量 2~ 1,XN ，若 2 0.2PX ，则 PX ______.
15．如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D ，底面是边长为 a 的菱形， 60BAD，
1 2AA a ，则直线 11AC 与 1BC成角的余弦值为_____．
16．已知函数 2sin 0f x x，则 fx的最大值为________，若 fx在区间 ,43
上是
增函数，则 的取值范围是________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17（10 分）．已知函数 sinf x A x，（ 0A ， 0 ，
2
）的最小正周期为 4 .
（1）从① 03f
；② 2 13f
；③ xR ，都有 2
3f x f
这三个条件中，选择合
适的两个条件，求函数 fx的解析式；
（2）求（1）中所求得的函数 fx在区间 2 ,33
上的最大值和最小值.
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18（12 分）．已知 nS 是数列 na 的前 n 项和，且 1
4nnSa nN
（1）求数列 na 的通项公式； （2）设 ( 2)
( 1)
n
n
nab nn
，数列 nb 的前 n 项和为 nT ，求证： 1
4nT ．
19（12 分）．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD，四边形 ABCD为梯形，
//BC AD ， AB AD ， E 为侧棱 PA 上一点，且 2AE PE ， 3AP ， 2AB BC，
4AD .
（1）证明： //PC 平面 BDE .
（2）求平面 PCD与平面 BDE 所成锐二面角的余弦值.
20（12 分）．已知函数 ( ) lnf x mx nx x 的图象在点 ,e f e 处的切线方程为 4y x e.
（1）求函数 ()fx的解析式；
（2）若对任意 (1, )x ，不等式 ( ) ( 1) 1f x t x 恒成立，求正整数 t 的最大值.
21（12 分）．已知椭圆
22
22C 1 0xy abab ： ，四点 1 2 3 4
331, 1, (0,- 3),P (11)22PP
， ，P ，中
恰有三点在椭圆C 上．
1 求椭圆C 的方程； 2 直线 :0l y kx m m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与 x 轴和 y 轴
分别交于点 M ， N ，当 MON△ 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．
22（12 分）．疫情期间，为支持学校隔离用餐的安排，保证同学们的用餐安全，食堂为同学们提供了 A
餐、B 餐两种餐盒.经过前期调研，食堂每天备餐时 A、B 两种餐盒的配餐比例为 3：1.为保证配餐的分量
足，后勤会对每天的餐盒的重量进行抽查.若每天抽查 5 个餐盒，假定每个餐盒的包装没有区分，被抽查
的可能性相同，
（1）求抽取的 5 个餐盒中有三个 B 餐的概率；
（2）某天配餐后，食堂管理人员怀疑 B 餐配菜有误，需要从所有的餐盒中挑出一个 B 餐盒查看.如果抽
出一个是 A 餐盒，则放回备餐区，继续抽取下一个；如果抽到的是 B 餐盒，则抽样结束.规定抽取次数不
超过 *Nnn 次.假定食堂备餐总数很大，抽样不影响备餐总量中 A、B 餐盒的比例.若抽样结束时抽到
的 A 餐盒数以随机变量 X 表示，求 X 的分布列与数学期望.
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