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2021 届高三第二次联考
理数参考答案
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 A A B D C D C B D D C A
1.【解析】由 Venn 图知：阴影部分对应的集合为 UA B ， 2{ | 4} { | 2B x y x x x 或 }x 2≥ ，
{0,1,2,3}A { | 2 2}U B x x ，即 {0,1}UA B .故选 A.
2.【解析】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题 :p x R , 2 2 3 0x x ，
则 :p x R ， 2 2 3 0x x .
3.【解析】 1
2 2 3 2
1
11 1 1(3 1 ) 1 1 212 2 2 2 2 2x x x dx x x
故选 B .
4.【解析】由函数解析式可看出,函数的零点呈周期性出现,且 x 时,函数值在 x 轴上下震荡,幅度
越来越小,而当 x 时,函数值在 x 轴上下震荡,幅度越来越大.可直接得出答案.
5.【解析】因为命题“ p q ”为真命题,所以命题 p 和命题 q均为真命题,对于命题 p ： 2 2x my 表示焦点
在 y 轴的正半轴上的抛物线,所以 0m ,对于命题 q： 2 2
16 2
x y
m m
表示椭圆,所以 6 0
2 0
6- +2
m
m
m m
，解得
2 6m 且 2m ,综上：实数 m 的取值范围是 0 6m 且 2m .
6.【解析】由题意，对于 52
361
10000
3
，可得 52
52 361
361
10000lg lg10000 lg3 52 4 361 lg 3 35.83
，
可得 52
35.8
361
10000 103
，分析选项，可得 D 中 3610 与其最接近.故选：D.
7.【解析】当 1x 时， 1( ) 0x
xf x e
，则 f x 在 ( ,1) 内是增函数,由 2f x f x 得 f x
的图象关于直线 x=1 对称，∴ f x 在 (1, ) 内是减函数. 3 5 0f f .
8. 【解析】对 R ,不等式 2( 1) ( 1) 1 0a x a x 恒成立.当 1a 时,则有 1 0 恒成立；当 1 0a 理科数学 第 - 2 - 页 共 8 页
时,则 2( 1) 4( 1) 0a a ,解得 3 1a .综上所述,实数 a 的取值范围是 3,1 .故选 B.
9. 【解析】
1
1 1
log 2 log 2 loglog 1 n
n
n
n
n n nn
2
1log 2
2
n n n
222 2 1n n n n n ，
2
1log 2 12
n n n
，因而
1log 2 1lo 1gn
n n
n
，即 1log 2 log 1nn nn ，则 4 5l g 5o log 6 ，
即 2 a c ；而 4
4 4
1log 13 log log 334 4 34
1b
，所以b a c .选 D
10.【解析】由已知，当 2,2x 时， 23f x x a ，当 23 0f x x a 或 23 0f x x a
f x 为单调函数，则 0a 或 12a ，故 f x 在 2,2 上不单调时，a 的范围为 0,12 ，C 是充要条件，
D 是充分不必要条件.故选：D.
11.【解析】函数 ( )f x 是定义在 R 上的偶函数，可求得 [ 1,0]x ，函数 ( ) ( ) 3 1xf x f x ，
( 2) ( )f x f x ，即周期为 2，又由函数 ( ) ( ) log ( 2)ag x f x x （ 1a ）在区间 ( 1,3) 恰有 3 个不同的
零点，即函数 y f x 与 log ( 2)ay x 的图象在区间 ( 1,3) 上有 3 个不同的交点，又由
1 3 2f f ，则满足 log (1 2) 2a 且 log (3 2) 2a ，解得 3 5a .
12. 【解析】依题意
22 ( 1) 1 11
1 1
x xx xf x x
x
11 11x x
，则 2
11
1
f x
x
，
当 1,3x 时， 0f x ′ ，故函数 f x 在 1,3 上单调递增，当 1 1,3x 时，
1
3 13,2 4f x
；
而函数 g x x m 在 1,3 上单调递减，故 2 3, 1g x m m ，
则只需
13, 3, 12 4
3 m m
，故 3
13
3 2
1 4
m
m
，解得17 9
4 2m 17 9,4 2m
.理科数学 第 - 3 - 页 共 8 页
13．【答案】3【解析】
2log 3 2 ，
3 32
1log 2 log 2 1f f
.
2log 3 1 2 ， 2
2 2
log 6log 1 log 26 63f f ， 2log 33f .
14．【答案】 2 0 ， 【解析】 q p 因为 是 的必要不充分条件，所以 p 是 q 的必要不充分条件，
解不等式 2( ) 9x m ＜ ，得 3 3m x m ＜ ＜ ，解不等式 ，解得 .
， ， ，
所以 ，即 ．因此，实数 的取值范围是 2 0 ， .
15【答案】4【解析】∵ , ，∴ 函数 的周期为 4。
令 画函数的图像，则满足 ，恰有 4 个交点.
16．【答案】 e, 【解析】 2( ) x xf x ax ax e xe ，等价为
2( ) 0x xf x ax ax e xe 有三个不同的实根，即 ( 1) (1 ) 0xax x x e ，
( 1)( ) 0xx ax e ，则 1x ，则 0xax e ，有两个不等于 1 的根，则
xea x ，设 ( )
xeh x x ，则 2 2
( 1)( )
x x xe x e e xh x x x
，则由 ( ) 0h x 得 1x ，
由 ( ) 0h x 得 1x 且 0x ，当 1x 时， min( )h x e ，当 0x 时， ( ) 0h x ，
作出 ( )
xeh x x 图象，要使
xea x 有两个不同的根，则满足 a e ， ( , )a e .
17.【解析】若 p 为真，则对 2 21,1 , 4 2 2x m m x x 恒成立. 设 2 2 2f x x x ，
配方得 21 3f x x ，∴ f x 在 1,1 上的最小值为－3，∴ 2 4 3m m 解得1 3m ，
∴ p 为真时，1 3m . ………………………………………………………………………………2 分
若 q为真，则 21,2 , 1 2x x mx 成立，即
2 1xm x
成立.理科数学 第 - 4 - 页 共 8 页
设
2 1 1xg x xx x
，则 g x 在 1,2 上是增函数，∴ g x 的最大值为 32 2g ，
∴ 3 ,2m
∴ q为真时， 3 .2m …………………………………………………………………………5 分
∵“ p q ”为真，“ p q ”为假，∴ p 与 q一真一假.
当 p 真 q假时， 1 3
3
2
m
m
,∴ 3 32 m
………………………………………………………………7 分
当 p 假 q真时，∴ 1 3
3
2
m m
m
或 1.m ………………………………………………9 分
综上所述，
3,1 ,32m
. ……………………………………………………………………10 分
18.【解析】 1 函数 2 22 ( 1) 1g x x x a x a ， g x 在区间 1,m 上是增函数，
故
2 2 1
1 1 2 0
g m m am
g a
，解得 1
2
a
m
…………………………………………………………4 分
2 由已知可得 2 2 1g x x x ，则 1 2g xf x xx x ，
所以不等式 2 2log 2 0f x k log x ，转化为
2 2
2
1log 2 2 log 0logx k xx
在 4,8x 上恒成立 ……………………………………………………………………………………8 分
设 2logt x ，则 2,3t ，即 1 2 2 0t ktt ，在 2,3t ，上恒成立，
即： 2
2
1 2 12 1 ( 1)k t t t ， 2,3t ， 1 1 1,3 2t
，当 1 1
3t 时， 21( 1)t 取得最大值，最大
值为 21 4( 1) 9t ，则 42 9k ，即 2 .9k k 的取值范围是 2 ,9
．………………………………12 分理科数学 第 - 5 - 页 共 8 页
19.【解析】（1）由题意： 0 0f ，解得 1b ，再由 1 1f f ，
得 1
0
1 2 1 2
4 2a a
，解得 2a ， 当 2a ， 1b 时，
1
1 2
2 2
x
xf x
，定义域为 R ，
1 1
1 2 1 2
2 2 2 2
x x
x xf x f x
， f x 为奇函数， 2a ， 1b . （不验证，不扣分……3 分
1
2 1 2 1 2
2 2 2 2 1
x x
x xm f x
，即 1 1
2 2 1xm
0x ， 2 1 2x ， 1 10 2 1 2x
，
1 1 10 2 2 1 2x
， m f x 有正根， 10, 2m
. …………………………………………6 分
（2）由 2 3 0x kf x ，得
1
1 2 3 22 2
x
x
xk
， 1,2x ，所以
1
2 1 02 2
x
x
，
13 2 2 2
1 2
x x
xk
令 2 1x t ，则 3, 1t ，此时不等式可化为 42k tt
………9 分
记
42h t tt
，当 3, 1t 时， 4y t 和 y t 均为减函数，
h t 为减函数，故
106, 3h t
， k h t 恒成立， k 6 .…………………………………12 分
20.【解析】（1）当 1k 时，
2
12
xxf x x e
， 1 xf x x e ；知 0 0, 0 0f f ，
故可得切线方程为 0y ； ………………………………………………………………………………2 分
设 1 xg x x e 1 xg x e ，令 0g x ，解得 0x ， f x 在区间 ,0 单调递增，在区
间 0, 单调递减， 0 0f x f ，
f x 在 R 上单调递减 ……………………………………………………………………………………4 分理科数学 第 - 6 - 页 共 8 页
（2） [2, )x 时， ( ) 0f x 恒成立，即： 2,x ，
2
1 02
xxf x kx e
恒成立.
又 xf x x k e . 设 xg x x k e 1 xg x e
f x 在区间 ,0 单调递增，在区间 0, 单调递减，
故 0 1f x f k . ………………………………………………………………………………6 分
①当 1 0k ，即 1k 时， 0f x ，故 f x 在 2, 单调递减.
故 22 2 2 1f x f k e .若满足题意，只需 23 2 0k e ，解得
2 3
2 2
ek .
故 1k ；
②当 1 0k ，即 1k 时， f x 在区间 2, 单调递减，且 22 2f k e ，
⒈当 2 0f 时， 2 0f x f ，此时 f x 在区间 2, 单调递减，
要满足题意只需 22 3 2 0f k e ，解得
2 3
2 2
ek ,故此时只需 2 31, 2 2
ek
.
⒉当 2 0f 时，因为 ‘f x 在区间 2, 单调递减，故一定存在 0 2x ， 0
0 0 0xf x x k e ，
且使得 f x 在区间 02, x 单调递增， 0,x 单调递减.
故
0
2
0
ax 0 0m 12
xxf x f x kx e
要满足题意，只需 max 0f x ，
即
0
2
0
0 1 02
xx kx e
.结合 0
0 0xx k e ，只需
2
0
0 0 01 0, 22
xx k kx x 恒成立即可.
只需 2
0 0
1 1 1 02 x k x k 在 0 2x 时恒成立即可.
显然 2
0 0
1 1 12y x k x k 是关于 0x 且开口向下的二次函数，无法满足题意. ………………10 分
综上所述：满足题意的范围是 2 3 2 2
e
，
.又因为 k Z ，且
2 3 2,32 2
e ，
故满足题意的整数 k 的最大值为 2 . ………………………………………………………………………12 分理科数学 第 - 7 - 页 共 8 页
21．【解析】（1）当 12m 时，所以
12 44
xf x x
，
只要证明 f x 在 4,8x 为增函数且
12 144 2
xf x xx
即可.
2
1 12 04f x x
f x 在 4,8x 为增函数;
又由 12 144 2
x xx
，可化为： 2 16 48 0x x
设： 2( ) 16 48g x x x 因对称轴为 8x 且在 4,8x 为递减函数且 (4) 0g ，
12 144 2
xf x xx
恒成立； ………………………………………………………………………5 分
（2）由条件①可知，
44
x mf x x
在 4,8 上单调递增，
2
2 2
1 4
4 4
m x mf x x x
所以当 0m 时， 0f x 满足条件；当 0m 时，由 0f x 可得 2x m
当 2 ,x m
时 0f x ， f x 单调递增， 2 4m ，解得 4 0m ， 4m ……8 分
由②可知， 2
xf x ，即不等式
44
x m
x
在 4,8 上恒成立，等价于
221 14 8 164 4m x x x
当 4x 时， 21 8 164y x 取最小值12 12m ………………………………………………11 分
综上，参数 m 的取值范围是 4,12 ． ……………………………………………………………………12 分理科数学 第 - 8 - 页 共 8 页
22．【解析】（1）根据题意可得 x 的取值范围为 x＞0
1 2( ) 2 2
a axf x x x
若 0a ，则 ( ) 0f x ，所以 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增， ( )f x 无最值，不合题意； ……………………2 分
若 0a ，当 20 x a 时， ( ) 0f x ，当 2x a 时， ( ) 0f x ，
所以函数 ( )f x 在 20, a
上单调递增，在 2 ,a
上单调递减，
故 ( )f x 的最大值 2 2 1ln 12
2f aa a a
，解得 2a ，符合题意．
综上， 2a ． …………………………………………………………………………………………………5 分
（2）若 ( ) ( )f m f n ，则由（1）知 0a ，
所以函数 ( )f x 在 20, a
上单调递增，在 2 ,a
上单调递减．
若存在实数 1, ,42m n
，使得 ( ) ( )f m f n ，则 2
a
介于 ,m n 之间，不妨设 1 2 42 m na ，
( )f x 在 2,m a
上单调递增，在 2 ,na
上单调递减，且 ( ) ( )f m f n ，所以当 m x n 时，
( ) ( ) ( )f x f m f n ，由 1 4,| | 22 m n m n ，可得 2 [ , ]m n ，故 (2) ( ) ( )f f m f n ，又 ( )f x 在
2,m a
上递增，且 1 2
2 m a ，所以 1( ) 2f m f
，所以 1 (2)2f f
，
同理 (4) (2)f f ． ……………………………………………………………………………………………10 分
所以 1 1ln ln 22
ln 4 2 l 2
4
n
a a
a a
，解得 8ln 2ln 2 3a ，不等式得证． ………………………………………12 分
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