八校联考数学终稿.pdf

‎2021届高三年级苏州八校联盟第一次适应性检测 数学参考答案 ‎ 2020.10‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D B A C C B C D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 AD CD BD BD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.试题中包含两个空的，只答对1个给3分，全部答对的给5分.‎ ‎ 13. (—1,2) 14. 2； 15. 4 16. —4‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎ 17.解：（1）由可得：且，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 即.┅┅┅┅┅┅┅┅5分 ‎（2） 因为 ‎┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 ‎18.解：若选择①‎ ‎ 由正弦定理可将化为：┅┅┅3分 ‎ 又，所以 ‎ 所以 高三八校联考数学试题参考答案 第 7 页 共 7 页 即，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 ‎，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 ‎ 所以（当时取到等号）‎ ‎ 所以面积的最大值为2. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 若选择②‎ 由正弦定理可将化为：‎ ‎ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 ‎ 又，所以 所以 即，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 又，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 又由余弦定理可得：‎ ‎（当且仅当时取等号）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 ‎ 所以面积的最大值为.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 若选择③‎ 因为，所以 ‎（当且仅当时取等号）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 又由余弦定理得：‎ ‎（当且仅当时取等号）┅8分 ‎（当且仅当时取等号）‎ ‎ 所以面积的最大值为.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 高三八校联考数学试题参考答案 第 7 页 共 7 页 ‎19. 解：（1）∵OE=1，EF=‎ ‎∴∠EOF=60°‎ 当∈[，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，‎ 且AE=tan ,BE=tan(45°+ )‎ ‎∴f()=S△AOB=[tan(45°+ )－tan ]‎ ‎==┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 当∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=‎ ‎∴=S△AOB=OA·OB·sin45°=··sin45°=‎ ‎ ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 综上得：f()= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 ‎（2）由（1）得：当∈[0，]时 f()= ∈[,－1]‎ 且当=0时，f()min=；=时，f()max=－1；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分 当∈时,－≤2 －≤，f（）=∈[－,]‎ 且当=时，f() min=－；当=时，f() max=┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 所以f() ∈[,].┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 ‎20. 解：（1）当f(x)=ax‎2‎+2x-4a(a∈R)‎时，‎ 方程f(x)+f(-x)=0‎即有解x=±2‎，‎ 所以f(x)‎为“局部奇函数”． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎（2）当f(x)=‎4‎x-m‎2‎x+1‎+m‎2‎-3‎时，f(x)+f(-x)=0‎可化为 ‎4‎x‎+‎4‎‎-x-2m(‎2‎x+‎2‎‎-x)+2m‎2‎-6=0‎‎．‎ 设t=‎2‎x+‎2‎‎-x∈[2,+∞)‎，则‎4‎x‎+‎4‎‎-x=t‎2‎-2‎，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 从而t‎2‎‎-2mt+2m‎2‎-8=0‎在‎[2,+∞)‎有解即可保证f(x)‎为“局部奇函数”． ‎ 高三八校联考数学试题参考答案 第 7 页 共 7 页 令F(t)=t‎2‎-2mt+2m‎2‎-8‎，‎ ‎1° 当F(2)≤0‎，t‎2‎‎-2mt+2m‎2‎-8=0‎在‎[2,+∞)‎有解，‎ 由F(2)≤0‎，即‎2m‎2‎-4m-4≤0‎，解得‎1-‎3‎≤m≤1+‎‎3‎； ┅┅┅┅┅┅┅┅8分 ‎2° 当F(2)>0‎时，t‎2‎‎-2mt+2m‎2‎-8=0‎在‎[2,+∞)‎有解等价于 Δ=4m‎2‎-4(2m‎2‎-8)≥0,‎m>2,‎F(2)>0‎解得‎1+‎3‎0）‎ ‎ 且当时，；当时，‎ ‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ 所以┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ‎ 因为要使得恒成立，只要恒成立 ‎ 即 ①‎ ‎ 设，且 ‎ ，在上单调递减 ‎ 又，，‎ ‎ 且图象连续不断，所以满足①的的最大值为3. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅4分 ‎（2），‎ ‎ 设，则，‎ ‎ 因为，所以在内必存在唯一的实数，使得 ‎ 所以为增函数 ‎ ，，为减函数 ‎（说明单调性同样给分）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分 ‎ 下面先证明：.‎ 高三八校联考数学试题参考答案 第 7 页 共 7 页 ‎ 因为，所以，‎ ‎（法一）当时，有，（不证明不扣分）‎ ‎，‎ 下证，即证，即证.‎ ‎.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 ‎（法二）当时，有，（不证明不扣分）‎ ‎，‎ 下证，令，则 即证，即证 令，则 为单调递增函数 当时，‎ ‎.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 ‎（法三）欲证，即证 因为，所以只需证，‎ 即证，‎ 高三八校联考数学试题参考答案 第 7 页 共 7 页 即证 即证，又 只需证，即证 即证 又，所以显然成立.‎ ‎.┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8分 接下来，求函数在上的零点个数 ‎，且函数在上单调递减 在上有唯一零点，即函数在上的零点个数为1┅┅┅9分 最后，求函数在上的零点个数 ‎，且函数在上单调递增 ‎ 当时，，所以函数在上没有零点，‎ ‎ 即函数在上的零点个数为0┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分 ‎ 当时，，所以函数在上有唯一零点，‎ ‎ 即函数在上的零点个数为1┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅11分 综上所述：当时，在上的零点个数为1 ；‎ ‎ 当时，在上的零点个数为2 . ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分 高三八校联考数学试题参考答案 第 7 页 共 7 页