【定稿】【试题】福州市2021届高三数学10月调研A卷.pdf

数学（A 卷）参考答案（第 1 页，共 10 页） 福州市 2021 届高三 10 月调研 A 卷 数学参考答案 命题组：黄炳锋，宋建辉，许丽丽，耿熹 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．D，2．B，3．A，4．B，5．A，6．C，7．C，8．D． 8．解析：因为定义在 R 上的奇函数  fx在  ,0 上单调递减，且  20f  ， 所以 在 0, 上也是单调递减，且  20f ，  00f  ， 所以当    , 2 0,2x   时，   0fx ，当    2,0 2,x   时，   0fx ， 所以由  10x f x ，可得 0, 21012 x xx   或 或 0, 01212 x xx    或 或 0x  ， 解得 10x 或 13x ， 所以满足 的 x 的取值范围是   1,01,3 ，故选 D． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分． 9．AB，10．AD，11．ACD，12．ABD． 11．解析：记未使用过的乒乓球为 A，已使用过的为 B，任取 3 个球的所有可能是：1A2B，2A1B， 3A；A 使用后成为 B，故 X 的所有可能取值是 3,4,5； 12 62 3 8 63(3), 5628 CCPX C 21 62 3 8 30(4) 56 CCPX C ， 30 62 3 8 20( 5) 56  CCPX C ， 又 X 最有可能的取值是 4， 3 30 20 17( ) 3 4 528 56 56 4EX        . 综上，选 ACD. 12．解析：              2 sin sin 2 cos cos 2 sin sin cos cosf x x x x x f x           ，故 A 正确，                  sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cosf x x x x x x x f x              ，数学（A 卷）参考答案（第 2 页，共 10 页） 故 B 正确， 由于    sin1,1,cos1,1xx，所以  si n si n 1 x  ，  c o s c o s 1 x ， 故      sinsincoscos2fxxx  ，C 错误， 当 0, 2x   时，  sin 0 ,1x 且单调递增，故  s in s inyx 是区间 0, 2   上的增函数，同理可判断，  c o s c o syx 是区间 0, 2   上的增函数，故  fx是区间 0, 2   上的增函数，D 正确． 综上，选 ABD． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．651，14．(1,0)，15． 15 15 ，16． 25 π 4 ． 14．解析：抛物线 2 2 ( 0 )y p x p的准线为 2 px  ， 把圆化成标准方程为 22(1)2xy ，得圆心 (0 ,1 )M ，半径 2r  ， 圆心到准线的距离为 2 p ，所以 222 2()()(2)22 p  ，即 2p  ， 所以焦点坐标为 (1,0 ) . 15．解析：由 2cos 2 15sin 2 0   ，得 22(12sin)15sin20 ， 即 24sin15sin40 ，所以 (4sin1)(sin4)0 ， 因为sin40 ，解得 1sin 4  ， 又 π π(,) 22  ，所以 2 15cos1sin 4 ， 所以 sin15tan cos15    ． 16．解析： 2AB ， AC BC ，故底面三角形外接圆半径为 1r  ，  2211 124 ABCSCA CBCACB ，当 2CACB 时等号成立， 由 12 33ABCV S h  △ ，所以 2h  ， 数学（A 卷）参考答案（第 3 页，共 10 页） 当 P 离平面 ABC 最远时，外接球表面积最小，此时， 在平面 的投影为 AB 中点 1O ， 设球心为 O ，则 在 1PO 上，故   2221R h R   ，化简得到 1 22 hR h ， 注意到函数 1 22 xy x 在  2,  上单调递增，故 m in 5 4R  ， 所以 2 min min 254π π4SR. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识．考查运算求解能 力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等，体现基础性，综合性．满分 10 分 解析：选① 因为 1 1 2 n n a a   ， 1 4a  ，所以 na 是首项为 4，公比为 1 2 的等比数列． 所以 13114 22 nn na  ． ·························································· 4 分 当 n 为奇数时， 141 2 8111 321 2 n n nS   ， 因为 81132n  随着 n 的增大而减小，所以此时 nS 的最大值为 1 4S  ； 当 为偶数时， 141 2 8111 321 2 n n nS   ，且 8 1 8143 2 3n nS     ， 综上， 存在最大值，且最大值为 4． ·················································· 10 分 选② 数学（A 卷）参考答案（第 4 页，共 10 页） 解法 1：因为 1 1 6nnaa    ， 1 4a  ，所以  na 是首项为 4，公差为 1 6 的等差数列． 所以   112541666nann    ， ················································· 4 分 由于 1 2 5 066n   ，得 25n  ，所以 nS 存在最大值，且最大值为 25S 或 24S ， 因为 25 2524142550 26S    ，所以 的最大值为 50． ·················· 10 分 解法 2：因为 ， ，所以 是首项为 4，公差为 的等差数列． 所以 ， 从而   21 114924014 2612248n nnSnn      ， 所以当 24n  或 25n  时 取得最大值，且最大值为 50． ························· 10 分 选③ 因为 1 8nnaan  ，所以 1 8nnaan  ， 所以 21 7aa ， 32 6aa ，…， 1 9nnaan  ， 所以          2 111221 791 1716 22nnnnn nn nnaaaaaaaa         ， 又 ，所以 2 1724 2n nna  ， ······················································· 6 分 当 16n  时， 0na  ，故 不存在最大值． ············································ 10 分 18．本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方 程思想，化归与转化思想，涉及的核心素养有逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性．满分 12 分． 解析：（1）由已知及正弦定理得，sin (sincos ) sin (cossin )BCCCBB ， 即 2sin sin sin cos sin cos sin( )B C B C C B B C    ， 数学（A 卷）参考答案（第 5 页，共 10 页） 因为 πB C A   ，所以 sin()sinBCA ， 所以 2sinsinsinBCA  ， ································································ 3 分 所以 2 sinb C a ，又因为 sinh b C ， 所以 2 ha ，即 2a h  ． ··································································· 6 分 （2）由（1）得 1 2ha，△ABC 的面积 21 4Sa， 所以 211sin24bc A a ，即 22 5 sin Aa， ·········································· 8 分 又由余弦定理，得 222 2cos625 cosabcbcAA ，即 225cos6 Aa， 所以 422 (6)20aa ，解得 2a ，或 2a ． ································ 12 分 19．本小题主要考查相关系数、随机抽样等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意 识，考查统计与概率思想，涉及的核心素养有数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分 析等，体现综合性、应用性．满分 12 分． 解析：（1）样本  ,iixy （i=1，2，…，20）的相关系数为        20 1 20 2022 11 800 2 2 0.94380 9000 ii i ii ii x x y y r x x y y           ， 由于 0.94 接近 1，说明各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性． ····································································································· 8 分 （2）更合理的抽样方法是分层抽样．理由如下： 由（1）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆 盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异也很大，采用分层抽样的方法能较好地 保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量 更准确的估计． ················································································ 12 分 20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象 能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；涉及的核心素养有直观想象、逻辑 推理、数学运算等，体现基础性、综合性．满分 12 分． 解析：（1）证法一： 连接 A1B，因为四边形 A1B1BA 是平行四边形，所以 A1B 与 AB1 交于点 N， 数学（A 卷）参考答案（第 6 页，共 10 页） 连接 BC1，在△A1BC1 中，N 是 A1B 中点，M 是 A1C1 中点， 所以 MN//BC1， 又 MN  平面 11B BCC ， 1BC  平面 ， 所以 MN 平面 ． ································································· 6 分 证法二： 取 11BC 的中点 Q ，连接 ,,M Q NP PQ ， 则有 11M Q A B ，且 11 1 2M Q A B ， PN AB ，且 1 2P N A B ， 又 11A B A B ， 11A B A B ，所以 PN MQ ，且 PN MQ ， 所以 PNMQ 为平行四边形，所以 MN PQ ， 又 平面 ， PQ  平面 ， 所以 平面 ． ································································· 6 分 （2）在平面 ABC 内过点 A 作射线 l 垂直于 AB ，易知 ， ， 1AA 两两垂直，如图，以 A 为原 点，分别以 AB，l，AA1 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 A xy z ， 则 11,0, 2P  ， 11,0,22N   ，  1 0,0,1A ，设  00,,1Mxy ， 则 00 11,2 , 2M xyN   ，  001 ,,0M yA x 因为 AP MN ，所以 0 11)02 4(AP M xN  ， 解得 0 1 4x  ，又因为 11 1 11|||| 22A MA C， 所以 22 00 1 4xy，解得 0 3 4y  （舍去负值）， 所以 13, ,144M   ． 数学（A 卷）参考答案（第 7 页，共 10 页） 设 1 ( , , )x y zn 为平面 PMN 的一个法向量， 因为 1 3 1 1, , , ,0,04 4 2 2MN PN     ， 所以 1 3 1 0,4 4 2 1 0,2 x y z x      取 1y  ，则 1 30 ,1 , 2  n ， 又 2 (0 ,1,0 )n 为平面 1A P N 的一个法向量， 所以 1 2 2 2 1 1 127cos, 77 4    nnnn nn ， 所以二面角 1APNM的余弦值为 27 7 ． ········································· 12 分 21．本小题主要考查函数的单调性、导数、导数的几何意义及其应用、不等式等基础知识，考查推 理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查分类与整合思想、数形结合思想，涉及的核心素养 有数学抽象、数学运算、逻辑推理等，体现综合性、应用性与创新性．满分 12 分． 解析：（1）   1 2fxx xa   ，依题意有  10f  ，故 3 2a  ． 经检验 ．     2 211231 33 22 xxxxfx xx    ，  fx的定义域为 3 2  ， ∞ ， 当 3 12 x  时，   0fx  ；当 11 2x  时，   0fx  ；当 1 2x  时， ． 所以  fx在区间 31122     ， ， ， ∞ 单调递增，在区间 11 2  ， 单调递减． ····································································································· 5 分 （2） 的定义域为 a， ∞ ，   2221xaxfx xa    ． 方程 22 2 1 0x ax   的判别式 248a   ． 若 0 ，即 22a   ，在 的定义域内 ，故 无极值． 数学（A 卷）参考答案（第 8 页，共 10 页） 若 0 ，则 2a  或 2a  ． 当 2a  ，  2x    ， ∞ ，     2 21 2 x fx x     ，当 2 2x  时，   0fx  ，当 222 22x  ， ， ∞ 时，   0fx  ，所以 ()fx无极值． 当 2a  ，  2x， ∞ ，    2 21 0 2 x fx x     ， 也无极值． 若 0 ，即 2a  或 2a  ， 则 22 2 1 0x ax   有两个不同的实根 2 1 2 2 aax  ， 2 2 2 2 aax  ． 当 2a  时， 12xaxa， ，从而  fx 有  fx的定义域内没有零点，故 无极值． 当 2a  时， 1xa ， 2xa ， 在 的定义域内有两个不同的零点， 可知 在 12xxxx， 取得极值． 综上， 存在极值时， a 的取值范围为  2 ， ∞ ． 由 可得 1212 1, 2xxax x  ，则  22 2 2 1 2 1 2 1 221x x x x x x a      ，          2 1 2 1 2 1 2 1 2 1ln ln ln ln ln 2x a x a x a x a x x a x x a          ， 所以 的极值之和为        222 121122 1elnlnln1 1 ln 2 ln 22f xf xxaxxaxa   ． ····································································································· 12 分 22．本小题主要考查直线与椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、 运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想，涉及的核心素养有数学运 算，逻辑推理等，体现基础性，综合性．满分 12 分． 解析：（1）由题意可得 2 2 2 12 be a ，即 222ab ， 所以椭圆 E 的方程为 22 2212 yx bb， 与直线 :2l y x 联立，可得 2 2 3 bx  ，则 2 2 4 3 by  ， 数学（A 卷）参考答案（第 9 页，共 10 页） 又 25AB  ，所以 224 533 bb，解得 2 3b  ，于是 2 6a  ， 因此椭圆 E 的方程为 22 163 yx． ······················································ 5 分 （2）根据题意，不妨设点 A 在第一象限，由（1）可得  1,2A ，  1, 2B  ， 若直线 AC 的斜率不存在，则  1, 2C  ，设  00,D x y ， 于是可得点 M ， N 的坐标分别为 00 0 2221, 1 yx x   ， 00 0 42,22 yx y  ， 因此直线 MN 的斜率为     00 22 000 22 00 00 0 222 214624 14221211 2 yx xyx yx xx y      ， 若直线 的斜率存在，设直线 的方程为  121ykx ， 点 C 的坐标为  ,CCxy ，则有 1 2 1 C C yk x   ， 设直线 BC 的方程为  21ykx ，则有 2 1 C C yk x   ， 因为 2 2 1 22 6 14 34 211     C C CC x ykk xx ，所以 1 2k k ， 即直线 的方程为   1 221yxk  ， 同理，设直线 AD 的方程为  221y k x   ，则直线 BD 的方程为   2 221yxk    ， 由 及 ，解得 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 4 2 2 4 4,22 k k k k k kM k k k k       ； 数学（A 卷）参考答案（第 10 页，共 10 页） 由  221y k x   及   1 221yxk    ，解得 121122 1212 42244 ,22 k kkk kkN k kk k   ， 于是直线 MN 的斜率为 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 12 1 2 1 2 2 4 4 2 4 4 22 14 2 4 2 22 k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k k k               ， 综上所述，直线 的斜率为定值 1 ． ················································ 12 分