8.3　实际问题与二元一次方程组（第3课时）.ppt

七年级数学 · 下 新课标 [ 人 ] 第八章　二元一次方程组 学习新知 检测反馈 8 . 1 　 二元一次方程组 “今有鸡兔同笼 , 上有三十五头 , 下有九十四足 . 问鸡、兔各几何 ? ”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题 . 你能用哪些方法解决这个问题呢 ? 如果设两个未知数 , 能解决这个问题吗 ? 想一想 学 习 新 知 一、二元一次方程 定义 : 上面两个方程中 , 每个方程都含有两个未知数 ( x 和 y ), 并且含有未知数的项的次数都是 1, 像这样的方程叫做二元一次方程 . 例： ( 补充 ) 下列方程中 , 是二元一次方程的是 ( 　 ) A . 7 x +3 y =2 B .xy =9 C .x +2 y 2 =11 D . 解析 : 本题考查二元一次方程的定义 ,B 选项的次数为 2,C 选项的 最高次数为 2,D 选项不是整式方程 , 故都不 是二元一次方程 . [ 解题策略 ] 从以下三个方面整体理解二元一次方程的定义 :(1) 有两个未知数 ;(2) 含有未知数的项的次数为 1;(3) 是整式方程 . A 知识拓展 1 . 二元一次方程还可以定义为 : 在方程中有两个未知数 , 未知数与未知数之间没有乘法、除法运算 , 并且未知数的次数都是 1, 像这样的方程叫做二元一次方程 . 2 . 理解二元一次方程的概念要特别注意对次数的要求是“含有未知数的项的次数为 1 ” , 不能理解为“每个未知数的次数都是 1 ” , 如 xy +2=0 就不是一个二元一次方程 . 算法展示 : (1) 算数方法 : 把兔子和鸡的脚数看成“相等” , 则 多出 94- 35×2=24 只脚 , 每只兔子比鸡多出两只脚 , 由此可先求出兔子有 24÷2=12( 只 ), 随后可算出鸡有 35- 12=23( 只 ) . 类似地也可以先求鸡的数量 : 35×4- 94=46( 只 ),46÷2=23( 只 ) . (2) 列一元一次方程 : 设有 x 只鸡 , 则有 (35- x ) 只兔子 . 根据题意 , 得 2 x +4(35- x )=94 . 解方程可求出 x =23 . 35- 23=12( 只 ) . 所以有 23 只鸡 ,12 只兔子 . 解： 设有 x 只鸡 , 有 y 只兔子 . x + y =35,2 x +4 y =94. 比较这两个方程与前面学过的一元一次方程 , 有什么不同呢 ? 含有两个未知数 , 并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程 , 叫做 二元一次方程 . 上面的问题中包含两个必须同时满足的条件 , 也就是未知数 x , y 必须同时满足方程 : x + y =10,① 2 x + y =16 . ② 把这两个方程合在一起 , 写成 就组成了一个方程组 . 这个方程组中有两个未知数 , 含有每个未知数的项的次数都是 1, 并且一共有两个方程 , 像这样的方程组叫做二元一次方程组 . 知识拓展 二元一次方程组的概念是一个描述性定义 , 两个未知数不是两个方程中每个方程都含有两个未知数 , 可以是一个方程中含有一个未知数 , 也可以是两个方程中含有不同的两个未知数 . 例： ( 补充 ) 下列方程组中 , 是 二元一次方程组 的为 ( 　　 ) A. B. C. D . C 解析 : 　 本题主要考查二元一次方程组的定义 .A 选项共含有三个未知数 ;B 选项中的未知数的最高次数是 2;D 选项中不全是整式方程 , 故都不是二元一次方程组 . 故选 C. 问题 1 下面哪些解既适合方程 x + y =10, 又符合问题的实际意义 ? 〔解析〕 由上表可知 x =0, y =10; x =1, y =9; … ; x =10, y =0 使方程 x + y =10 两边的值相等 , 它们都是方程 x + y =10 的解 . 如果不考虑方程 x + y =10 与上面实际问题的联系 , 那么 x =- 1, y =11; x =0 . 5, y =9 . 5; …也都是这个方程的解 . 这说明二元一 次方程除非有实际意义的限制或者特别的限制 , 否则这种方程有无数个解 . x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 问题 2 写出方程 2 x + y =16 的几个解 ? 〔解析〕 例如 x =0, y =16; x =1, y =14; x =5, y =6 ……都是 2 x + y =16 的解 . 问题 3 上述表格中的解 , 哪些或哪个是方程 2 x + y =16 的解 ? 〔解析〕 　 x =6, y =4 . x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 问题 4 什么是二元一次方程组的解 ? 〔解析〕 一般地 , 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 , 叫做二元一次方程的解 . 我们还发现 , x =6, y =4 既满足方程 ①, 又满足方程 ②, 也就是说 , x =6, y =4 是方程 ① 与方程 ② 的公共解 , 我们把 x =6, y =4 叫做二元一次方程组 的解 . 这个解通常记作 一般地 , 二元一次方程组的两个方程的公共解 , 叫做二元一次方程组的解 . 知识拓展 二元一次方程组的解是一对数 , 要将这对数代入方程组中的每一个方程进行检验 , 这对数只有满足方程组中的每一个方程 , 才能是这个方程组的解 , 而一元一次方程的解是一个数 , 这是它们之间的区别 . 课堂小结 1 . 含有两个未知数 , 并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程 , 叫做二元一次方程 . 2 . 一般地 , 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值 , 叫做二元一次方程的解 . 3 . 一般地 , 二元一次方程组的两个方程的公共解 , 叫做二元一次方程组的解 . 　 1 . 下列方程中 , 是二元一次方程的是 ( 　　 ) A . 3 x - 2 y =1 B .xy + y =9 C .x - 3=4 y 2 D .x + x =2 解析 : 本题考查二元一次方程的定义 . B 选项的未知数的最高次数为 2,C 选项的未知数的最高次数为 2,D 选项不含有两个未知数 , 因此它们都不是二元一次方程 . 故选 A . A 　 检测 反馈 2 . 下列各组数中 , 不是方程 x + y =7 的解的 是 ( 　　 ) A. B. C. D. 解析 : 将四个选项分别代入方程 , 能使方程成立的即是方程的解 . 反之 , 则不是方程的解 . A . 3+4=7, C . 1+6=7,D . 10+(- 3)=7, 均是方程的解 , 不符合选择要求 ;B . 12+(- 1)=11 ≠ 7, 不是方程的解 , 符合选择要求 . B 3 . 方程 ax - y =3 的解是 则 a 的值是 ( 　　 ) A.5 　　　 B.- 5 　　　 C.2 　　　 D.1 解析 : 把 代入方程 ax - y =3, 得 a - 2=3, 解得 a =5 . 故选 A. A 　 4 . 请判断下列各组数是不是二元一次方程组 的解 :