（2017秋）人教版九年级数学上册阶段方法技巧训练：专训2　圆中常用的作辅助线的八种方法 (共28张PPT).ppt

阶段方法技巧训练（一） 专训 2 　圆中常用的作辅助 线的八种方法 习题课 在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要 添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至 关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧 用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所 对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周 角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及 “作垂直，证半径”等． 1 方法 作半径，巧用同圆的半径相等 1 ．如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形 ABCD 的顶点 A ， D 在半圆 O 上，顶点 B ， C 在半圆 O 的直径 上；小正方形 BEFG 的顶点 F 在半圆 O 上， E 点在半 圆 O 的直径上，点 G 在大正方形的边 AB 上．若小正 方形的边长为 4 cm ， 求该半圆的半径． 如图，连接 OA ， OF . 设 OA ＝ OF ＝ r cm ， AB ＝ a cm. 在 Rt△ OAB 中， r 2 ＝ ＋ a 2 ， 在 Rt△ OEF 中， r 2 ＝ 4 2 ＋ ， ∴ ＋ a 2 ＝ 16 ＋ 16 ＋ 4 a ＋ . 解得 a 1 ＝ 8 ， a 2 ＝－ 4( 舍去 ) ． ∴ r 2 ＝ ＋ 8 2 ＝ 80. ∴ r 1 ＝ 4 ， r 2 ＝－ 4 ( 舍去 ) ． 即该半圆的半径为 4 cm. 解： 在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题． 2 方法 连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等 2 ．如图，圆内接三角形 ABC 的外角∠ ACM 的平分线 与圆交于 D 点， DP ⊥ AC ，垂足是 P ， DH ⊥ BM ， 垂足为 H . 求证： AP ＝ BH . 如图，连接 AD ， BD . ∵∠ DAC 、∠ DBC 是 DC 所对的圆周角． ∴∠ DAC ＝∠ DBC . ∵ CD 平分∠ ACM ， DP ⊥ AC ， DH ⊥ CM ， ∴ DP ＝ DH . 在△ ADP 和△ BDH 中， ∴△ ADP ≌△ BDH . ∴ AP ＝ BH . 证明 ： ︵ 本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠ DAC ＝∠ DBC ，为证两三角形全等创造了条件． 3 作直径，巧用直径所对的圆周角是直角 方法 3 ．如图， ⊙ O 的半径为 R ，弦 AB ， CD 互相垂直， 连接 AD ， BC . (1) 求证： AD 2 ＋ BC 2 ＝ 4 R 2 ； (1) 如图，过点 D 作 ⊙ O 的直径 DE ，连接 AE ， EC ， AC . ∵ DE 是 ⊙ O 的直径， ∴∠ ECD ＝ ∠ EAD ＝ 90 ° . 又 ∵ CD ⊥ AB ， ∴ EC ∥ AB . ∴∠ BAC ＝ ∠ ACE . ∴ BC ＝ AE . ∴ BC ＝ AE . 在 Rt△ AED 中， AD 2 ＋ A E 2 ＝ DE 2 ， ∴ AD 2 ＋ BC 2 ＝ 4 R 2 . 证明 ： ︵ ︵ (2) 若弦 AD ， BC 的长是方程 x 2 － 6 x ＋ 5 ＝ 0 的两个根 ( AD > BC ) ，求 ⊙ O 的半径及点 O 到 AD 的距离． (2) 如图，过点 O 作 OF ⊥ AD 于点 F . ∵ 弦 AD ， BC 的长是方程 x 2 － 6 x ＋ 5 ＝ 0 的两个根 ( AD > B C) ， ∴ AD ＝ 5 ， BC ＝ 1. 解： 由 (1) 知， AD 2 ＋ BC 2 ＝ 4 R 2 ， ∴5 2 ＋ 1 2 ＝ 4 R 2 . ∴ R ＝ . ∵∠ EAD ＝ 90° ， OF ⊥ AD ， ∴ OF ∥ EA . 又 ∵ O 为 DE 的中点， ∴ OF ＝ AE ＝ BC ＝ . 即点 O 到 AD 的距离为 . 本题作出直径 DE ，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便． 4 证切线时辅助线作法的应用 方法 4 ．如图，△ ABC 内接于⊙ O ， CA ＝ CB ， CD ∥ AB 且 与 OA 的延长线交于点 D . 判断 CD 与⊙ O 的位置关 系，并说明理由． CD 与⊙ O 相切，理由如下： 如图，作直径 CE ，连接 AE . ∵ CE 是直径，∴∠ EAC ＝ 90°. ∴∠ E ＋∠ ACE ＝ 90°. ∵ CA ＝ CB ，∴∠ B ＝∠ CAB . ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ ACD ＝∠ CAB . ∴∠ B ＝∠ ACD . 又∵∠ B ＝∠ E ，∴∠ ACD ＝∠ E . ∴∠ ACE ＋∠ ACD ＝ 90° ，即 OC ⊥ DC . 又 OC 为⊙ O 的半径，∴ CD 与⊙ O 相切 解 ： 5 遇弦加弦心距或半径 方法 5 ．如图所示，在半径为 5 的⊙ O 中， AB ， CD 是互相 垂直的两条弦，垂足为 P ，且 AB ＝ CD ＝ 8 ，则 OP 的长为 ( 　　 ) A ． 3 B ． 4 C ． 3 D ． 4 C 同类变式 6 ． 【 中考 · 贵港 】 如图所示， AB 是⊙ O 的弦， OH ⊥ AB 于点 H ，点 P 是优弧上一点， 若 AB ＝ 2 ， OH ＝ 1 ， 则∠ APB 的度数是 ________ ． 6 遇直径巧加直径所对的圆周角 方法 7 ．如图，在△ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 2 ，以 AB 为直径的 ⊙ O 分别交 BC ， AC 于点 D ， E ，且点 D 是 BC 的中点． (1) 求证：△ ABC 为等边三角形． (1) 如图，连接 AD ， ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB ＝ 90°. ∵ 点 D 是 BC 的中点， ∴ AD 是线段 BC 的垂直平分线． ∴ AB ＝ AC . ∵ AB ＝ BC ，∴ AB ＝ BC ＝ AC ， ∴△ ABC 为等边三角形． 证明 ： (2) 求 DE 的长． (2) 如图，连接 BE . ∵ AB 是直径， ∴∠ AEB ＝ 90° ，∴ BE ⊥ AC . ∵△ ABC 是等边三角形， ∴ AE ＝ EC ，即 E 为 AC 的中点． ∵ D 是 BC 的中点，故 DE 为△ ABC 的中位线． ∴ DE ＝ AB ＝ ×2 ＝ 1. 解 ： 7 遇切线巧作过切点的半径 方法 8 ．如图，⊙ O 是 Rt△ ABC 的外接圆，∠ ABC ＝ 90° ， 点 P 是圆外一点， PA 切⊙ O 于点 A ，且 PA ＝ PB . (1) 求证： PB 是⊙ O 的切线； (1) 如图，连接 OB ，∵ OA ＝ OB ， ∴∠ OAB ＝∠ OBA . 　 ∵ PA ＝ PB ， ∴∠ PAB ＝∠ PBA . 　 ∴∠ OAB ＋∠ PAB ＝∠ OBA ＋∠ PBA . 即∠ PAO ＝∠ PBO . 又∵ PA 是⊙ O 的切线，∴∠ PAO ＝ 90°. ∴∠ PBO ＝ 90°. ∴ OB ⊥ PB . 又∵ OB 是⊙ O 的半径， ∴ PB 是⊙ O 的切线． 证明 ： (2) 已知 PA ＝ ，∠ ACB ＝ 60° ，求⊙ O 的半径． (2) 如图，连接 OP ， ∵ PA ＝ PB ， ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上． ∵ OA ＝ OB ， ∴ 点 O 在线段 AB 的垂直平分线上． ∴ OP 为线段 AB 的垂直平分线． 解 ： 又 ∵ BC ⊥ AB ， ∴ PO ∥ BC . ∴∠ AOP ＝ ∠ ACB ＝ 60°. 由 (1) 知 ∠ PAO ＝ 90°. ∴∠ APO ＝ 30°. ∴ PO ＝ 2 AO . ∵ 在 Rt△ APO 中， AO 2 ＋ PA 2 ＝ PO 2 ， ∴ AO 2 ＋ 3 ＝ (2 AO ) 2 . 又 ∵ AO ＞ 0 ， ∴ AO ＝ 1 ， ∴⊙ O 的半径为 1. 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积 方法 9 ． 【 中考 · 自贡 】 如图所示，点 B ， C ， D 都在⊙ O 上， 过点 C 作 AC ∥ BD 交 OB 的延长线于点 A ，连接 CD ， 且∠ CDB ＝∠ OBD ＝ 30° ， DB ＝ 6 cm. (1) 求证： AC 是⊙ O 的切线； (1) 如图，连接 CO ，交 DB 于点 E ， ∴∠ O ＝ 2∠ CDB ＝ 60°. 又∵∠ OBE ＝ 30° ， ∴∠ BEO ＝ 180° － 60° － 30° ＝ 90°. ∵ AC ∥ BD ，∴∠ ACO ＝∠ BEO ＝ 90°. 即 OC ⊥ AC . 又∵点 C 在⊙ O 上， ∴ AC 是⊙ O 的切线． 证明 ： (2) 求由弦 CD ， BD 与 BC 所围成的阴影部分的面积． ( 结果保留 π) ︵ (2)∵ OE ⊥ DB ， ∴ EB ＝ DB ＝ 3 cm. 在 Rt△ EOB 中， ∵∠ OBD ＝ 30° ， ∴ OE ＝ OB . ∵ EB ＝ 3 cm ， ∴ 由勾股定理可求得 OB ＝ 6 cm. 解 ： 又 ∵∠ CDB ＝ ∠ DBO ， DE ＝ BE ， ∠ CED ＝ ∠ OEB ， ∴△ CDE ≌△ OBE . ∴ S △ CDE ＝ S △ OBE . ∴ S 阴影 ＝ S 扇形 OCB ＝ π·6 2 ＝ 6π(cm 2 ) ．