第五节 解直角三角形及其实际应用（玩转重庆9年中考真题）.doc

第四章 三角形 第五节 解直角三角形及其实际应用 考点 精讲 解直角三角形及其实际应用 锐角三角函数的定义 锐角三角函数 特殊角的三角函数值记忆法 直角三角形的边角关系 解直接三角形的实际应用 仰角、俯角 坡角、坡度 方向 角 精确度 解直角三角形实际应用题的一般步骤 锐角三角函数的定义 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C =90° ， ∠ A 为 △ ABC 中 的一锐角，则有： ∠ B 、 ∠ C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， ∠ A 的正弦： sin A = ① ∠ A 的余弦： cos A = ② ∠ A 的正切： tan A = ③ 三角 函数 30° 45° 60° ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图表记忆法（如图②，图③） 规律记忆法： 30 °， 45 °， 60 °角的正弦值的分母都是 2 ，分子依次为 1 ， ， ； 30 °， 45 °， 60 °角的余弦值是 60 °， 45 °， 30 °角的正弦值 直角三角形的边角关系 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一锐角 （ a ， ∠ A ） ∠ B =90 ° -∠ A , c = b = ( 或 b = ) 已知斜边和一个锐角 （ c ， ∠ A ） ∠ B =90 ° -∠ A , a = c sin A b = c cos A ( 或 b = ) 已知两直角边 （ a ， b ） c = ，由 tan A= 求 ∠ A ， ∠ B =90 ° -∠ A 已知斜边和一条直角边 （ c ， a ） c = ，由 tan A= 求 ∠ A ， ∠ B =90 ° -∠ A 1. 仰角、俯角：如图④所示，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角，当从高处观测低处的的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角 2. 坡角、坡度：如图⑤所示，通常把 坡面的铅垂高度 h 和 水平宽度 l 的比叫坡度，用字母 i 表示；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 ，则有 3. 方向 角：如图⑥所示， A 点位于 O 点的北偏东 30 °方向，而 B 点位于 O 点的南偏东 60 °方向 4. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位就说这个 近似数精确到哪一位 . 如 3.1 是精确到 0.1 或叫做精确到十分位 5. 解直角三角形实际应用题的一般步骤 (1) 审题（注意仰角、俯角、坡度、水平距离、垂直距离等概念定义） (2) 画图（想办法构造直角三角形，必要的情况下还要添加辅助线） (3) 转化（将实际的数量关系转化为直角三角形中元素间的关系） (4) 解题（灵活应用三角函数定义及有关关系、三角形的有关公式、定理等） (5) 答（注意单位） 例 1 (2016连云港)如图，在△ ABC 中，∠ C ＝150°， AC ＝4，tan B ＝ (1)求 BC 的长； 重难点突破 直角三角形的边角关系 (1)【 思维教练 】 已知 tan B 、∠ C 、 AC 的值，要求 BC 的值，需构造直角三角形，即过点 A 作 AD ⊥ BC 的延长线于点 D ， 因为 BC ＝ BD － CD ， 所以只要求出 BD 、 CD 的长即可求解 ， CD 可以在 Rt△ ACD 中求解， BD 可以在 Rt△ ABD 中求解，而求 BD 的长，需先在 Rt△ ACD 中求出 AD 的长 ． 解 ： 如解图①，过点 A 作 AD ⊥ BC 的延长线于点 D ， ∵∠ ACB ＝150°，∴∠ ACD ＝30°， ∴ AD = AC =2 ， CD = AC 在 Rt△ ABD 中 ， ∵ ∴ ∴ BC =16- 【 思维教练 】 由 (1) 知 ∠ ACD ＝30°， 要求 tan15° 的值，可以想到构造以 ∠ ACD 为外角 ， AC 为腰的等腰三角形即可得到含 15° 角的直角三角形，从而根据锐角三角函数的定义求解． (2)利用此图形求 tan 15°的值． (精确到0.1.参考数据： ) 解 ： 如解图②，在 CB 上截取 CE ＝ CA ＝4， 则 ∠ CEA ＝∠ CAE ＝ ∠ ACD ＝15°， ∴tan15 ° = ∴tan15° 的值为 0.3. 练习 1 (2016怀化)在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，sin A = , AC ＝6 cm，则 BC 的长度为 (　　) A. 6 cm　　　B . 7 cm　　　 C. 8 cm　　　D . 9 cm C 【解析】 ∵sin A ＝ ＝ ， ∴ 设 BC ＝ 4 a ，则 AB ＝ 5 a ， AC ＝ ＝ 3 a ， ∴3 a ＝ 6 ，即 a ＝ 2 ，故 BC ＝ 4 a ＝ 8 cm 例 2 (2016天水)如图所示，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为60°，沿山坡向上走到 P 处再测得 C 的仰角为45°，已知 OA ＝200米，山坡坡度为 ， ( 即 tan∠ PAB = ) 且 O、A、B 在同一条直线上，求电视塔 OC 的高度以及此人所在位置 点 P 的垂直高度．(测倾器的 高度忽略不计，结果保留根号) 直角三角形的实际应用 二 【 思维教练 】 要求 OC 的值 ， 已知 ∠ CAO ＝ 60° ， AO ＝ 200 米 ， 即可在 Rt△ AOC 中 ， 运用锐角三角函数求解；要求点 P 的垂直高度，即可想到作辅助线 PE ⊥ AB ， PF ⊥ CO ， 已知 tan∠ PAB ＝ ， ∠ CPF ＝ 45° ， 可通过 CF ＝ PF 列方程求解 PE 的值． 解： 如解图，过点 P 作 PE ⊥ OB 于点 E ， PF ⊥ CO 于点 F ， 在 Rt△ AOC 中 ， AO ＝ 200 ， ∠ CAO ＝ 60° ， ∴ CO ＝ AO · tan60° ＝ . 设 PE ＝ x ， ∵tan∠ PAB ＝ ＝ ， ∴ AE ＝ 3 x . 在 Rt△ PCF 中 ， ∠ CPF ＝ 45° ， CF ＝ 200 － x ， PF ＝ OA ＋ AE ＝ 200 ＋ 3 x ， ∵ PF ＝ CF ， ∴200 ＋ 3 x ＝ － x ， 解得 x ＝ ( － 50) 米． 答：电视塔 OC 高为 米，点 P 的铅直高度为 ( － 50) 米． 练习 2 (2016哈尔滨)如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东60度方向，与灯塔 P 的距离为30海里的 A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东30°方向上的 B 处， 则此时轮船所在位置 B 处与 灯塔 P 之间的距离为(　　) A. 60海里 B. 45海里 C. 20 海里 D. 30 海里 D 【 解析 】由题意可得： ∠ B ＝ 30° ， AP ＝ 30 海里， ∠ APB ＝ 90° ，故 AB ＝ 2 AP ＝ 60( 海里 ) ，则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为： BP ＝ ＝ 30 ( 海里 ) ． 练习 3 (2016南通)如图，为了测量某建筑物 MN 的高度，在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为30°，向 N 点方向前进16m到达 B 处，在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为45°， 则建筑物 MN 的高度等 于(　　) A.8( +1) m B.8( -1) m C.16( +1) m D.16( +1) m A 【 解析 】设 BN ＝ x ，则 AN ＝16＋ x .在Rt△ BMN 中，∵∠ MBN ＝45°，∴ BN ＝ MN ＝ x ，在Rt△ AMN 中， AN ＝ ,即16＋ x ＝ x , 解得 x =8 （ +1 ）