北师大版九年级下数学《3.3垂径定理》课件.pptx

*3.3 垂径定理 第三章 圆 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形 . 2. 理解 垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题 . （重点） 3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题 . （难点） 学习目标 问题 : 你知道赵州桥吗 ? 它的主桥是圆弧形 , 它的跨度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 37m, 拱高 ( 弧的中点到弦的距离 ) 为 7.23m ， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 导入新课 情境引入 问题： 如图 , AB 是 ⊙ O 的一条弦 , 直径 CD ⊥ AB, 垂足为 P . 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 ? 为什么 ? 线段 : AP = BP 弧 : AC=BC, AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由如下： 把圆沿着直径 CD 折叠时， CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合， A P 与 B P 重合， AC 和 BC , AD 与 BD 重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D P C 讲授新课 垂径定理及其推论 一 · O A B D C P 试一试 已知：在 ☉ O 中， CD 是直径， AB 是弦， AB ⊥ CD ，垂足为 P . 求证： AP = BP ， AC = BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD = BD. 证明：连接 OA 、 OB 、 CA 、 CB ，则 OA=OB . 即 △ AOB 是等腰三角形 . ∵ AB ⊥ CD ， ∴AP=BP ， ⌒ ⌒ AC = BC. ∴ AD = BD ， ⌒ ⌒ ∠AOC=∠BOC . 从而 ∠AOD=∠BOD . 想一想： 能不能用所学过的知识证明你的结论？ 垂径定理 · O A B C D P 垂直于弦的直径 平分这条弦 , 并且平分弦所对的弧 . ∵ CD 是直径， CD ⊥ AB ， (条件) ∴ AP = BP, ⌒ ⌒ AC = BC, ⌒ ⌒ AD = BD. ( 结论 ) 归纳总结 推导格式： 温馨提示： 垂径定理是圆中一个重要的定理 , 三种语言要相互转化 , 形成整体 , 才能运用自如 . 想一想： 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为 CD 没有过圆心 A B O C D E O A B C A B O E A B D C O E 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧 . 上述五个条件中的 任何两个条件 都可以推出其他三个结论吗？ 思考探索 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法 已知 : 求证： ① CD 是直径 ② CD⊥AB ，垂足为 E ③ AE=BE ④ AC=BC ⑤ AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明猜想 AC 与 BC 相等吗？ AD 与 BD 相等吗？为什么？ 如图， AB 是⊙ O 的一条弦，作直径 CD ，使 AE=BE. （ 1 ） CD ⊥ AB 吗？为什么？ （ 2 ） · O A B C D E ⌒ ⌒ （ 2 ）由垂径定理可得 AC =BC ， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （ 1 ）连接 AO,BO, 则 AO=BO, 又 AE = BE ，∴△ AOE ≌△ BOE （ SSS ） ， ∴∠ AEO = ∠ BEO =90° ， ∴ CD ⊥ AB . 证明举例 ⌒ ⌒ 思考： “ 不是直径 ”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例 . 平分弦 （不是直径） 的直径垂直于弦 , 并且平分弦所对的弧 . 垂径定理 的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的 . 归纳总结 垂径定理的本质是: 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （ 1 ）一条直线过圆心 （ 2 ）这条直线垂直于弦 （ 3 ）这条直线平分 不是直径的 弦 （ 4 ）这条直线平分 不是直径的 弦所对的优弧 （ 5 ）这条直线平分 不是直径的 弦所对的劣弧 例 1 如图， OE ⊥ AB 于 E ，若 ⊙ O 的半径为 10 cm , OE =6 cm , 则 AB = cm . · O A B E 解析：连接 OA ， ∵ OE ⊥ AB ， ∴ AB =2 AE =16 cm . 16 一 垂径定理及其推论的计算 二 ∴ cm. 典例精析 例 2 如图， ⊙ O 的弦 AB ＝ 8 cm ， 直径 CE ⊥ AB 于 D ， DC ＝ 2 cm ， 求半径 OC 的长 . · O A B E C D 解：连接 OA ， ∵ CE ⊥ AB 于 D ， ∴ 设 OC = x cm ， 则 OD = x -2 , 根据勾股定理，得 解得 x =5 ， 即半径 OC 的长为 5cm. x 2 =4 2 +( x -2) 2 ， 例 3 ： 已知：⊙ O 中弦 AB∥CD, 求证： AC ＝ BD. ⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径 MN⊥AB. ∵ AB∥CD ，∴ MN⊥CD. 则 AM ＝ BM ， CM ＝ DM （垂直弦的直径平分弦所对的弧） AM － CM ＝ BM － DM ∴AC ＝ BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 试一试： 根据所学 新知 ，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗 ? 垂径定理的实际应用 三 A B O C D 解：如图，用 AB 表示主桥拱，设 AB 所在圆的圆心为 O ， 半径为 R. 经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC 垂足为 D ，与弧 AB 交于点 C ， 则 D 是 AB 的中点， C 是弧 AB 的中点， CD 就是拱高 . ∴ AB =37m ， CD =7.23m. ∴ AD = AB =18.5m ， OD = OC - CD = R -7.23. 解得 R ≈ 27.3 （ m ） . 即主桥拱半径约为 27.3m. R 2 =18.5 2 +( R - 7.23) 2 ∵ 例 4 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ( 即图中弧 CD , 点 O 是弧 CD 的圆心 ), 其中 CD = 600m , E 为弧 CD 上的一点 , 且 OE ⊥ CD ， 垂足为 F , EF = 90m . 求这段弯路的半径 . 解 : 连接 OC. ● O C D E F ┗ 设这段弯路的半径为 R m , 则 OF =( R -90)m. 根据勾股定理，得 解得 R =545. ∴ 这段弯路的半径约为 545m. 如图 a 、 b, 一弓形弦长为 　 cm ，弓形所在的圆的半径为 7cm ， 则弓形的高为＿＿＿ ____ ＿ . C D C B O A D O A B 图 a 图 b 2cm 或 12cm 针对训练 在圆中有关弦长 a , 半径 r , 弦心距 d （ 圆心到弦的距离 ），弓形高 h 的计算题，常常通过 连半径 或作 弦心距 构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解 . 方法归纳 涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦 a ， 弦心距 d ， 弓形高 h ， 半径 r 之间有以下关系： 弓形中重要数量关系 A B C D O h r d d+h=r O A B C · 1. 已知 ⊙ O 中，弦 AB =8cm ， 圆心到 AB 的距离为 3cm ，则此圆的半径为 . 5cm 2. ⊙ O 的直径 AB =20cm, ∠ BAC =30 ° , 则弦 AC = . 10 3 cm 当堂练习 3. 如图，在⊙ O 中， AB 、 AC 为互相垂直且相等的两条弦， OD ⊥ AB 于 D ， OE ⊥ AC 于 E ，求证四边形 ADOE 是正方形． D · O A B C E 证明： ∴ 四边形 ADOE 为矩形， 又　∵ AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形 ADOE 为正方形 . 4. 已知：如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C ， D 两点。你认为 AC 和 BD 有什么关系？为什么？ 理由：过 O 作 OE ⊥ AB ，垂足为 E ， 则 AE ＝ BE ， CE ＝ DE 。 ∴ AE － CE ＝ BE － DE 即 AC ＝ BD . O . A C D B E 解 ： AC=BD 6. （分类讨论题） 已知 ☉ O 的半径为 10cm ，弦 MN∥EF , 且 MN =12cm, EF =16cm , 则弦 MN 和 EF 之间的距离为 . 14cm 或 2cm 5. 如图，在△ ABC 中，已知∠ ACB =130°，∠ BAC =20°， BC =2，以点 C 为圆心， CB 为半径的圆交 AB 于点 D ，则 BD 的长为 _______ ． 7. 如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径． 解：∵弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高， ∴OE⊥AB于F，∴AF= AB=3m， ∵设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m， ∴AO=r，OF=r-2， 在Rt△AOF中，由勾股定理可知：AO 2 =AF 2 +OF 2 ， 即r 2 =3 2 +（r-2） 2 ，解得r= m． 即，AB所在圆O的半径为 m． 拓展提升： 如图， ⊙ O 的直径为 10 ，弦 AB = 8 , P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的 取值范围 . 3cm≤ OP ≤5cm B A O P 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线 满足 : ① 过圆心 ; ② 垂直于弦 ; ③ 平分弦 （ 不是直径 ） ; ④ 平分弦所对的优弧 ; ⑤ 平分弦所对的劣弧 . 满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（ “ 知二推三 ”） 垂直于弦的直径 平分这条弦 , 并且平分弦所对的弧 . 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造 Rt △ 利用勾股定理计算或建立方程 . 基本图形及变式图形 课堂小结