随堂演练 第六章 第一节.doc

第六章　圆 第一节　圆的有关概念及性质 知识点一 圆的有关概念 1 ．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的 图形叫做圆．其中，定点称为 _____ ，定长称为 _____ ． 圆心 半径 2 ．与圆有关的概念 (1) 弧：圆上任意 _______ 的部分叫做圆弧，简称弧． (2) 弦：连接圆上任意两点的 _____ 叫做弦． (3) 直径：经过 _____ 的弦叫做直径． (4) 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆 中，能够互相重合的弧叫做等弧． 两点间 线段 圆心 等弧只存在同圆或等圆中，大小不等的圆中不存在等弧． (5) 圆心角：顶点在 _____ 的角叫做圆心角． (6) 圆周角：顶点在 _____ ，两边分别与圆还有另一个 交点．像这样的角，叫做圆周角． 圆心 圆上 知识点二 圆的有关性质 1 ．圆的对称性 (1) 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条 _______ 的直线，有 _____ 条对称轴． (2) 圆是中心对称图形，对称中心为 _____ ． 过圆心 无数 圆心 根据圆的对称性可知，圆具有旋转不变性，即圆围绕它 的圆心旋转任意角度，所得的圆与原图重合． 2 ．圆心角、弧、弦之间的关系 (1) 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 _____ ， 所对的弦也 _____ ． (2) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对 的圆心角 _____ ，所对的弦 _____ ． 相等 相等 相等 相等 (3) 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对 的圆心角 _____ ，所对的优弧和劣弧分别 _____ ． 相等 相等 3 ．垂径定理及其推论 (1) 垂径定理：垂直于弦的直径 _____ 弦，并且 _____ 弦所对的弧． (2) 推论：①平分弦 ( 不是直径 ) 的直径 _____ 于弦， 并且 _____ 弦所对的弧； ②弦的垂直平分线经过 _____ ，并且平分弦所对的两 条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且 _____ 另一条弧． 平分 平分 垂直 平分 圆心 平分 垂径定理及其推论实质上是指满足下列结论的一条直线： ①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优 弧；⑤平分弦所对的劣弧．如果已知五个结论中的两个 结论，那么可以推出另外三个结论． 4 ．圆周角定理及其推论 (1) 定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度 数的 _____ ． (2) 推论：①同弧或等弧所对的圆周角 _____ ； ②半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 _____ ； 90° 的圆周 角所对的弦是 _____ ． 一半 相等 直角 直径 5 ．圆内接多边形 (1) 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同 一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做 这个多边形的外接圆． (2) 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角 _____ ． 互补 知识点三 确定圆的条件 1 ．不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2 ．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形 的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边 ___________ 的 交点，叫做三角形的外心． 垂直平分线 考点一 弧、弦、圆心角的关系 (5 年 0 考 ) (2017· 宜昌 ) 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， AC 平分∠ BAD ，则下列结论正确的是 ( ) 【 分析 】 根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行 逐一判断即可． 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆 心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对 应的其余各组量都分别相等，简称为“知一推二”．但 是在进行弧、弦、圆心角之间的相互转化时一定要注意， 前提条件是“在同圆或等圆中”． 考点二 垂径定理 (5 年 2 考 ) 【 分析 】 作 OH ⊥CD 于 H ，连接 O C ，根据垂径定理得到 H C ＝ H D ，再利用 A P ＝ 2 ， B P ＝ 6 求出 OP . 在 Rt△ OPH 中根据 直角三角形的性质求出 OH ，然后在 Rt△ OH C 中利用勾股定 理求出 C H ，继而求出 CD. 利用垂径定理解题时应注意： (1) 过圆心作弦的垂线，连 接圆心和弦的一端 ( 即半径 ) 和弦的一半构建在一个直角三 角形中，这三个量“知二得一”，故往往作辅助线时看这 三条线缺哪条作哪条，然后运用勾股定理求解； (2) 在直 接运用垂径定理求线段的长度时，在构建出直角三角形后 常常设未知数，用方程思想求解． 3 ． (2017· 广州 ) 如图，在⊙ O 中， AB 是直径， CD 是弦， AB⊥CD ，垂足为 E ，连接 CO ， AD ，∠ BAD ＝ 20° ，则下列 说法中正确的是 ( ) A ． AD ＝ 2 O B B ． C E ＝ EO C ．∠ O C E ＝ 40° D ．∠ B O C ＝ 2∠BAD D 考点三 圆周角定理 (5 年 1 考 ) 如图，▱ ABCD 的顶点 A ， B ， D 在⊙ O 上，顶点 C 在⊙ O 的直径 BE 上，连接 AE ，∠ E ＝ 36° ，则∠ ADC 的度数是 ( 　　 ) A ． 44° B ． 54° C ． 72° D ． 53° 　 【 分析 】 首先根据直径所对的圆周角为直角得到∠ BAE ， 然后利用四边形 ABCD 是平行四边形，∠ E ＝ 36° ，得到 ∠ BAD ，进而求得∠ ADC. 【 自主解答 】 ∵BE 是直径，∴∠ BAE ＝ 90°. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ BEA ＝∠ DAE ＝ 36° ， ∴∠ BAD ＝ 126° ，∴∠ ADC ＝ 54°. 故选 B. 讲：与圆周角有关的多解问题 在求解与圆周角有关的问题时，注意其中的多解问题， 常常会因为漏解而导致错误． 练：链接变式训练 6 5 ． (2017· 石家庄二模 ) 如图，点 A 是量角器直径的一个 端点，点 B 在半圆周上，点 P 在上，点 Q 在 AB 上，且 PB ＝ PQ. 若点 P 对应 140°(40°) ，则∠ PQB 的度数为 ( ) A ． 65° B ． 70° C ． 75° D ． 80° B 6 ．如图，⊙ O 的半径为 1 ， AB 是⊙ O 的一条弦，且 AB ＝ 1 ， 则弦 AB 所对的圆周角的度数为 ____________ ． 30° 或 150° 考点四 圆内接四边形 (5 年 0 考 ) (2017· 广东 ) 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， DA ＝ DC ， ∠ CBE ＝ 50° ，则∠ DAC 的大小为 ( ) A ． 130° B ． 100° C ． 65° D ． 50° 【 分析 】 先根据补角的性质求出∠ ABC 的度数，再由圆 内接四边形的性质求出∠ ADC 的度数，由等腰三角形的性 质求得∠ DAC 的度数． 求解圆内接四边形的角度问题，常将圆外的角转移到圆 内去，再利用圆内接四边形对角互补的性质求解． 8 ． (2017· 牡丹江 ) 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O ， AB 经 过圆心，∠ B ＝ 3∠BAC ，则∠ ADC 等于 ( ) A ． 100° B ． 112.5° C ． 120° D ． 135° B