2019年春人教版八年级下《17.2.2勾股定理的逆定理的应用》课件.ppt

17.2 勾股定理的逆定理 第十七章 勾股定理 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用 学习目标 1. 灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题 . （重点） 2. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问 题 . （难点） 导入新课 问题 前面的学习让我们对 勾股定理及其逆定理 的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗 ? 回顾与思考 a 2 + b 2 = c 2 ( a , b 为直角边， c 斜边） Rt △ ABC ,∠ C 是直角 勾股定理 勾股定理的逆定理 a 2 + b 2 = c 2 ( a , b 为较短边， c 为最长边） Rt △ ABC ，且 ∠ C 是直角 . (2) 等腰△ ABC 中， AB = AC =10cm ,BC =12cm, 则 BC 边上的高是 cm. 8 (1) 已知△ ABC 中， BC =41, AC =40, AB =9, 则此三角形 为 三角形， 是最大角 . 直角 ∠ A 快速填一填： 思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理解决哪些实际问题呢？你能举举例吗？ 在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧 . 讲授新课 1 2 勾股定理的逆定理的应用 一 例 1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上 . “ 远航 ” 号、 “ 海天 ” 号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行 ,“ 远航 ” 号每小时航行 16 海里 , “ 海天 ” 号每小时航行 12 海里 . 它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q , R 处，且相距 30 海里 . 如果知道 “ 远航 ” 号沿东北方向航行 , 能知道 “ 海天 ” 号沿哪个方向航行吗？ N E P Q R 问题 1 认真审题，弄清已知是什么？要解决的 问题是什么？ 1 2 N E P Q R 16×1.5=24 12×1.5=18 30 “ 远航 ” 号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图 . 问题 2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？ 实质是要求出两艘船航 向所成角 . 勾股定理逆定理 解：根据题意得 PQ =16×1.5=24( 海里 ), PR =12×1.5=18( 海里 ), QR =30 海里 . ∵24 2 +18 2 =30 2 ，即 PQ 2 + PR 2 = QR 2 ,∴ ∠ QPR =90 ° . 由“远航”号沿东北方向航行可知∠ 1=45 ° . ∴ ∠ 2=45 °，即 “ 海天 ” 号沿西北方向航行 . N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤：  构建几何模型 ( 从整体到局部 ) ；  标注有用信息 , 明确已知和所求；  应用数学知识求解 . 归纳 【变式题】 如图， 南北方向 PQ 以东为我国领海，以西为公海，晚上 10 时 28 分，我边防反偷渡巡逻 101 号艇在 A 处发现其 正西方向 的 C 处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知在 PQ 上 B 处巡逻的 103 号艇注意其动向，经检测， AC =10 海里， BC =8 海里， AB=6 海里，若该船只的速度为 12.8 海里 / 时，则可疑船只最早何时进入我领海？ 东 北 P A B C Q D 分析：根据勾股定理的逆定可得△ ABC 是直角三角形，然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求 PD ，然后再利用勾股定理便可求 CD . 解：∵ AC =10 ， AB =6 ， BC =8 ， ∴ AC 2 =AB 2 +BC 2 ， 即△ ABC 是直角三角形 . 设 PQ 与 AC 相交于点 D ，根据三 角形面积公式有 BC·AB= AC·BD ， 即 6×8=10 BD ，解得 BD= 在 Rt△ BCD 中， 又∵该船只的速度为12.8海里/时， 6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟）， ∴需要 30 分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入我领海. 东 北 P A B C Q D 例 2 一个零件的形状如图  所示 , 按规定这个零件中∠ A 和∠ DBC 都应为直角 , 工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图  所示 , 这个零件符合要求吗 ? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图  图  在△ BCD 中， ∴ △ BCD 是直角三角形， ∠ DBC 是直角 . 因此，这个零件符合要求 . 解：在△ ABD 中， ∴ △ ABD 是直角三角形， ∠ A 是直角 . D A B C 4 3 5 13 12 图  1. A 、 B 、 C 三地的两两距离如图所示， A 地在 B 地的正东方向， C 在 B 地的什么方向？ A B C 5cm 12cm 13cm 解：∵ BC 2 + AB 2 =5 2 +12 2 =169 ， AC 2 =13 2 =169 ， ∴ BC 2 + AB 2 = AC 2 ， 即△ ABC 是直角三角形， ∠ B =90°. 答： C 在 B 地的正北方向． 练一练 2. 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 AB ＝ DC ＝ 8m ， AD ＝ BC ＝ 6m ， AC ＝ 9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解： ∵ AB ＝ DC ＝ 8m ， AD ＝ BC ＝ 6m ， ∴ AB 2 ＋ BC 2 ＝ 8 2 ＋ 6 2 ＝ 64 ＋ 36 ＝ 100. 又 ∵ AC 2 ＝ 9 2 ＝ 81 ， ∴ AB 2 ＋ BC 2 ≠ AC 2 ， ∴∠ ABC ≠90° ， ∴ 该农民挖的不合格． 例 3 如图，四边形 ABCD 中，∠ B ＝ 90 °， AB ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求四边形 ABCD 的面积 . 解析：连接 AC ，把四边形分成两个三角形 . 先用勾股定理求出 AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ ACD 是直角三角形 . A D B C 3 4 13 12 勾股定理及其逆定理的综合应用 二 解：连接 AC . A D B C 3 4 13 12 在Rt△ ABC 中， 在△ ACD 中， AC 2 + CD 2 =5 2 +12 2 =169 = AD 2 ， ∴ △ ACD 是直角三角形， 且∠ ACD =90° . ∴ S 四边形 ABCD = S Rt△ ABC + S Rt△ ACD =6+30=36. 四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题 . 在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是 “ 黄金搭挡”，经常配套使用 . 归纳 【变式题 1 】 如图， 四边形 ABCD 中， AB ⊥ AD ，已知 AD =3cm ， AB =4cm ， CD =12cm ， BC =13cm ，求四边形 ABCD 的面积 . 解：连接 BD . 在 Rt△ ABD 中 , 由勾股定理得 BD 2 = AB 2 + AD 2 ， ∴ BD =5m . 又 ∵ CD =12cm ， BC =13cm, ∴ BC 2 = CD 2 + BD 2 ，∴ △ BDC 是直角三角形 . ∴ S 四边形 ABC D = S Rt△ BC D － S Rt△ A B D = B D • C D － A B • A D = × ( 5×12 － 3×4 ) = 24 (c m 2 ) ． C B A D 【变式题 2 】 如图，在四边形 ABCD 中， AC ⊥ DC ，△ ADC 的面积为 30 cm 2 ， DC ＝ 12 cm ， AB ＝ 3cm ， BC ＝ 4cm ，求△ ABC 的面积 . 解 : ∵ S △ ACD =30 cm 2 ， DC ＝ 12 cm. ∴ AC =5 cm. 又 ∵ ∴ △ ABC 是直角三角形 , ∠ B 是直角 . ∴ D C B A 例 4 如图，△ ABC 中， AB = AC ， D 是 AC 边上的一点， CD =1， BC ＝ 5 ， BD =2． （1）求证：△ BCD 是直角三角形； （2）求△ ABC 的面积． （1）证明：∵ CD =1， BC ＝ 5 ， BD =2， ∴ CD 2 + BD 2 = BC 2 ， ∴△ BDC 是直角三角形； （2）解：设腰长 AB = AC = x ， 在Rt△ ADB 中，∵ AB 2 = AD 2 + BD 2 ， ∴ x 2 = ( x -1 ) 2 +2 2 ， 解得 用到了方程的思想 1. 医院、公园和超市的平面示意图如图所示，超市在医院的南偏东 25 °的方向，且到医院的距离为 300m, 公园到医院的距离为 400m. 若公园到超市的距离为 500m, 则公园在医院的北偏东 的方向 . 东 医院 公园 超市 北 65 ° 当堂练习 2. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （　　） A. B. C. D. D 3. 如图，某探险队的 A 组由驻地 O 点出发，以12km/h的速度前进，同时， B 组也由驻地 O 出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时 A ， B 两组相距30km．此时， A ， B 两组行进的方向成直角吗？请说明理由 . 解： ∵ 出发2小时， A 组行了12×2=24 ( km ) ， B 组行了9×2=18 ( km ) ， 又 ∵ A ， B 两组相距30 km ， 且有24 2 +18 2 =30 2 ， ∴ A ， B 两组行进的方向成直角． 4. 如图，在△ ABC 中， AB =17， BC =16， BC 边上的中线 AD =15，试说明： AB = AC . 解：∵ BC =16， AD 是 BC 边上的中线， ∴ BD = CD = BC =8 . ∵ 在△ AB D 中， AD 2 + BD 2 = 15 2 +8 2 =17 2 = AB 2 ， ∴△ ABD 是直角三角形，即∠ ADB =90°． ∴ △ A D C 是直角三角形 . 在 Rt △ A D C 中， ∴ AB = AC . 5. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标 A 、 B ．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口 O （如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口 O 出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标 A 、 B ．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 解：根据题意得 OA =16×1.5=24 ( 海里 ), OB =12×1.5=18 ( 海里 ) ， ∵ OB 2 + OA 2 =24 2 +18 2 =900， AB 2 =30 2 =900， ∴ OB 2 + OA 2 = AB 2 ， ∴∠ AOB =90° . ∵第一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口 O ( 如图 ) 沿北偏东40°的方向向目标 A 的前进， ∴∠ BOD =50°， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 解：设 AB 为3 x cm， BC 为4 x cm， AC 为5 x cm， ∵周长为36cm，即 AB + BC + AC =36cm， ∴3 x +4 x +5 x =36，解得 x =3 . ∴ AB =9cm， BC =12cm， AC =15cm . ∵ AB 2 + BC 2 = AC 2 ， ∴△ ABC 是直角三角形， 过3秒时， BP =9-3×2=3 ( cm ) ， BQ = 12- 1×3= 9( cm ) ， 在 Rt △ PBQ 中，由勾股定理得 6. 如图，在△ ABC 中， AB ： BC ： CA =3 ： 4 ： 5且周长为36cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒2cm的速度移动，点 Q 从点 C 沿 CB 边向点 B 以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3 s 时，求 PQ 的长． 课堂小结 勾股定理的逆定理的应用 应用 航海问题 方法 认真审题 , 画出符合题意的图形 , 熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题