随堂演练 第七章 第一节.doc

第七章　图形变化 第一节　轴对称、平移与旋转 知识点一 轴对称与轴对称图形 1 ．轴对称：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够 _________ ，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫 做这两个图形的对称轴． 2 ．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后， 直线两旁的部分能够 _________ ，那么这个图形叫做轴 对称图形，这条直线叫做对称轴． 完全重合 相互重合 要注意轴对称图形和轴对称的区别，轴对称是针对两个图形而言的，对称轴可能在图形的内部，也可能在图形的外部；轴对称图形是针对一个图形而言的，对称轴在图形的内部． 3 ．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形 中，对应点所连的线段被对称轴 _________ ，对应线段 _______ ，对应角 _______ ． 垂直平分 相等 相等 4 ．简单的轴对称图形 (1) 线段是轴对称图形， _______________________ 是它 的一条对称轴． (2) 角是轴对称图形， ___________________ 是它的对称 轴． (3) 等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形 _____________ 、 底边上的中线、 ___________ 重合 ( 也称“三线合一” ) ， 它们所在的直线是等腰三角形的对称轴． 垂直并且平分线段的直线 角平分线所在的直线 顶角的平分线 底边上的高 知识点二 图形的平移与旋转 1 ．图形的平移 (1) 平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． (2) 平移的性质 ①平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； ②一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线 段平行 ( 或在一条直线上 ) 且 _______ ；对应线段平行 ( 或在 一条直线上 ) 且 _______ ，对应角 _______ ． 相等 相等 相等 (3) 用坐标表示平移 在平面直角坐标系中，将点 (x ， y) 向右或左平移 a 个单位长 度，可得到对应点 (x ＋ a ， y) 或 ( _____ ， y) ，将点 (x ， y) 向上或下平移 b 个单位长度，可得到对应点 (x ， _____) 或 (x ， _____) ． x － a y ＋ b y － b 2 ．图形的旋转 (1) 旋转：在平面内，将一个图形绕一个 _______ 按某个方 向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称 为 _________ ，转动的角称为 _________ ． 定点 旋转中心 旋转角 (2) 旋转的性质 ①旋转不改变图形的形状和大小； ②对应点到旋转中心的距离 _______ ； ③任意一组对应点与 _________ 的连线所成的角都等于 旋转角； ④对应线段 _____ ，对应角 _______ ． 相等 旋转中心 相等 相等 知识点三 中心对称与中心对称图形 1 ．中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转 ______ ， 它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个 点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心． 2 ．中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转 ______ ，如 果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做 中心对称图形，这个点叫做它的对称中心． 180° 180° 要注意中心对称与中心对称图形的区别，中心对称是针对两个图形而言的，对称中心可能在图形内部也可能在图形外部；中心对称图形是针对一个图形而言的，对称中心一般在图形内部． 3 ．中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点 所连线段经过 ___________ 且被对称中心 _______ ． 对称中心 平分 根据中心对称的性质，我们得到一个确定对称中心的方 法：成中心对称的两个图形的对应点连成的线段的交点 即对称中心 . 考点 一 图形的折叠 (5 年 2 考 ) 例 1 (2016· 济南 ) 如图 1 ，在矩形纸片 ABCD 中， AB ＝ 8 ， AD ＝ 10 ，点 E 是 CD 的中点，将这张纸片依次折叠两次：第一 次折叠纸片使点 A 与点 E 重合，如图 2 ，折痕为 MN ，连接 ME ， NE ；第二次折叠纸片使点 N 与点 E 重合，如图 3 ，点 B 落到点 B′ 处，折痕为 HG ，连接 HE ，则 tan ∠EHG ＝ . 【 分析 】 连接 AE ，利用轴对称的性质可知∠ EHG ＝∠ NHG ， HG⊥EN ，∠ ANM ＝∠ HNE ， MN⊥AE ，则∠ NHG ＋∠ HNE ＝ 90° ， ∠ ANM ＋∠ EAN ＝ 90° ，∠ EHG ＝∠ EAN ＝∠ AED ，从而求得结果． 【 自主解答 】 如图，连接 AE ， 由题意可知∠ EHG ＝∠ NHG ， HG⊥EN ， ∠ ANM ＝∠ HNE ， MN⊥AE ， 则∠ NHG ＋∠ HNE ＝ 90° ，∠ ANM ＋∠ EAN ＝ 90° ， ∴∠ EHG ＝∠ EAN. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB∥CD ， ∴∠ EAN ＝∠ AED ， ∴ tan ∠EHG ＝ tan ∠AED ＝ 故答案为 讲： 忽略折叠前后的对应关系 在利用折叠的性质解决问题时，易出错的是忽略折叠 ( 翻 折 ) 前后两图形的关系，从而不能利用对应角相等，对应 线段相等的性质解题． 练：链接变式训练 1 1 ． (2017· 枣庄 ) 如图，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所 在的直线对折后展开，折痕为 MN ，再过点 B 折叠纸片，使 点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE. 若 AB 的长为 2 ，则 FM 的长 为 ( ) B 2 ． (2014· 济南 ) 如图，直线 y ＝－ x ＋ 2 与 x 轴、 y 轴分别 交于 A ， B 两点，把△ AOB 沿直线 AB 翻折后得到△ AO′B ，则 点 O′ 的坐标是 ( ) A 考点二 图形的平移 (5 年 4 考 ) 例 2 (2014· 济南 ) 如图，将边长为 12 的正方形 ABCD 沿其对角 线 AC 剪开，再把△ ABC 沿着 AD 方向平移，得到△ A′B′C′ ， 当两个三角形重叠部分的面积为 32 时，它移动的距离 AA′ 等于 ． 【 分析 】 根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形， △ AA′H 与△ HCB′ 都是等腰直角三角形，设 AA′ ＝ x ，则阴 影部分的底长为 x ，高 A′D ＝ 12 － x ，根据平行四边形的面 积公式即可列出方程求解． 【 自主解答 】 设 AC 交 A′B′ 于 H ， A′C′ 交 CD 于 I ， ∵ A′H∥CD ， AC∥C′A′ ， ∴四边形 A′HCI 是平行四边形． ∵∠ A ＝ 45° ，∠ D ＝ 90° ，∴△ A′HA 是等腰直角三角形． 设 AA′ ＝ x ，则阴影部分的底长为 x ，高 A′D ＝ 12 － x ， 根据平行四边形的面积公式得 x(12 － x) ＝ 32 ， 解得 x ＝ 4 或 x ＝ 8. 故答案为 4 或 8. 讲： 平移中坐标的变化规律 横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．注意与函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行区别，这是最易出错的地方． 练：链接变式训练 3 3 ． (2015· 济南 ) 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶 点都在方格纸的格点上，如果将△ ABC 先向右平移 4 个单位 长度，再向下平移 1 个单位长度，得到△ A 1 B 1 C 1 ，那么点 A 的对应点 A 1 的坐标为 ( ) A ． (4 ， 3) B ． (2 ， 4) C ． (3 ， 1) D ． (2 ， 5) D 4 ． (2016· 济南 ) 如图，在 6×6 方格中有两个涂有阴影的图形 M ， N ，图 1 中的图形 M 平移后位置如图 2 所示，以下对图形 M 的平移方法叙述正确的是 ( ) A ．向右平移 2 个单位，向下平移 3 个单位 B ．向右平移 1 个单位，向下平移 3 个单位 C ．向右平移 1 个单位，向下平移 4 个单位 D ．向右平移 2 个单位，向下平移 4 个单位 √ 考点 三 图形的旋转 (5 年 4 考 ) 例 3 (2013· 济南 ) 如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的三 个顶点的坐标分别为 A( － 1 ， 0) ， B( － 2 ， 3) ， C( － 3 ， 1) ， 将△ ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 90° ，得到△ AB′C′ ，则 点 B′ 的坐标为 ( 　　 ) A ． (2 ， 1) B ． (2 ， 3) C ． (4 ， 1) D ． (0 ， 2) 【 分析 】 根据旋转方向、旋转中心及旋转角，找到 B′ ，结合直角坐标系可得出点 B′ 的坐标． 【 自主解答 】 如图所示， 结合图形可得点 B′ 的坐标为 (2 ， 1) ．故选 A. 5 ． (2017· 聊城 ) 如图，将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转，使点 B 落在 AB 边上点 B′ 处，此时，点 A 的对应点 A′ 恰好落在 BC 边 的延长线上，下列结论错误的是 ( ) A ．∠ BCB′ ＝∠ ACA′ B ．∠ ACB ＝ 2∠B C ．∠ B′CA ＝∠ B′AC D ． B′C 平分∠ BB′A′ C 6 ． (2017· 贵港 ) 如图，点 P 在等边△ ABC 的内部，且 PC ＝ 6 ， PA ＝ 8 ， PB ＝ 10 ，将线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 60° 得到 P′C ，连接 AP′ ，则 sin ∠PAP ′ 的值为 ___ ． 考点四 轴对称图形与中心对称图形 (5 年 4 考 ) 例 4 (2017· 济南 ) 中国古代建筑中的窗格图案实用大方，寓意吉祥．以下给出的图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( 　　 ) 【 分析 】 根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断． 【 自主解答 】 A 是轴对称图形不是中心对称图形，故错误； B 既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确； C 是中心对称图形不是轴对称图 a 形，故错误； D 是轴对称图形不是中心对称图形，故错误． 故选 B. 判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转 180° 后与原图形重合． 7 ． (2016· 济南 ) 京剧脸谱、剪纸等图案蕴含着简洁美、 对称美．下面选取的图片中既是轴对称图形又是中心对 称图形的是 ( ) D 8 ． (2015· 济南 ) 下列图标既是轴对称图形又是中心对称 图形的是 ( ) C