北师大版七年级数学下册《5.3.1等腰三角形的性质》课件.ppt

3 简单的轴对称图形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第五章 生活中的轴对称 第 1 课时 等腰三角形的性质 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)　 2.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质， 能初步运用其解决有关问题．(难点) . 观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形, 能找出对称轴吗？ 复习巩固 导入新课 情境导入 观察下列图片，它们有什么共同的特征？ 等腰三角形 等腰三角形 讲授新课 等腰三角形的性质 如图 , 在△ ABC 中 , AB = AC ，则三角形为等腰三角形 . 它的各部分名称分别是什么？ A B C (1) 相等的两条边都叫腰 ; 腰 腰 底边 (2) 另一边叫底边 ; 顶角 底角 底角 (3) 两腰的夹角∠ A 叫顶角 ; (4) 腰与底边夹角∠ B 、∠ C 叫底角 . 剪一剪： 把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形 ABC 有 什么特点？ 互动探究 A B C AB=AC 等腰三角形 折一折： △ ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕 所在的直线 是它的对称轴 . 等腰三角形是轴对称图形 . 找一找： 把剪出的 等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角 . 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠ B 与 ∠ C . ∠ BAD 与 ∠ CAD ∠ADB 与 ∠ ADC 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想 . (1) 等腰三角形是轴对称图形 . (2) ∠ B =∠ C. (3) ∠ BAD ＝∠ CAD ， AD 为顶角的平分线 . (4) ∠ ADB =∠ ADC= 90° ， AD 为底边上的高 . (5) BD = CD ， AD 为底边上的中线 . A B C D 现象 A B C D 解：在 Δ ABC 中，∵ AD 是角平分线, ∴ ∠ BAD = ∠ CAD . 在 Δ ABD 和 Δ ACD 中, ∵ AB = AC , ∠ BAD = ∠ CAD , AD = AD ， ∴ Δ ABD ≌ Δ ACD. ∴ BD = CD , ∠ ADB =∠ ADC =90˚. ∴ AD 是 Δ ABC 的角平分线、底边上的中线、底边上的高 . 三线合一吗？ 等腰三角形是轴对称图形 . 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“ 三线合一 ”） . 归纳总结 等腰三角形的两个底角相等 . 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 为什么不一样 ? 1. 等腰三角形的顶角一定是锐角 . 2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以 . 3. 钝角三角形不可能是等腰三角形 . 4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边 . 5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合 . 6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角 . （ X ） （ X ） （ X ） （ X ） （ √ ） 明辨是非 （ √ ） 1. 按下面的步骤做一做： （1）将长方形纸片对折 （2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开 . 你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流 . 议一议 2. 你能尝试用圆规吗？ 例 1 等腰三角形的一个内角是 50° ，则这个三角 形的底角的大小是 ( 　　 ) A ． 65° 或 50° B ． 80° 或 40° C ． 65° 或 80° D ． 50° 或 80° 典例精析 解析：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50° ；当 50° 的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65° . A 解 ∵ AB = AC , BD = BC = AD ,（已知） ∴∠ ABC =∠ C =∠ BDC , ∠ A =∠ ABD .(等边对等角） 设∠ A = x ° , ∵∠ A +∠ ABD+ ∠ ADB= 180 °， 又 ∵∠ BDC+ ∠ ADB= 180 °， ∴∠ BDC =∠ A +∠ ABD =2 x °. ∵∠ ABC =∠ C =∠ BDC =2 x °， ∴ x + 2 x + 2 x = 180.（三角形内角和等于180 °） 解得 x = 36 .∴ ∠ A =36 ° ， ∠ C =72 °. 例2 如图，在 Δ ABC 中， AB = AC , 点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD , 求∠ A 和∠ C 的度数. C D B A 如图，在△ ABC 中， AB=AD=DC ，∠ BAD=26° ，求∠ B 和∠ C 的度数 . 解：∵ AB=AD=DC ∴ ∠ B= ∠ ADB ，∠ C= ∠ DAC 设 ∠ C= x ，则 ∠ DAC= x ， ∠ B= ∠ ADB= ∠ C+ ∠ DAC=2 x ， 在△ ABC 中， 根据三角形内角和定理，得 2 x + x +26 ° + x =180 °， 解得 x =38.5 ° . ∴ ∠ C= x =38.5° ， ∠ B=2 x =77°. 针对训练： 例 3 已知点 D 、 E 在 △ ABC 的边 BC 上， AB ＝ AC . (1) 如图 ① ， 若 AD ＝ AE ，求证： BD ＝ CE ； (2) 如图 ② ，若 BD ＝ CE ， F 为 DE 的中点，求证： AF ⊥ BC . 典例精析 图 ② 图 ① 证明： (1) 如图 ① ，过 A 作 AG ⊥ BC 于 G . ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， ∴ BG ＝ CG ， DG ＝ EG ， ∴ BG － DG ＝ CG － EG ， ∴ BD ＝ CE ； (2)∵ BD ＝ CE ， F 为 DE 的中点， ∴ BD ＋ DF ＝ CE ＋ EF ， ∴ BF ＝ CF . ∵ AB ＝ AC ， ∴ AF ⊥ BC . 图 ② 图 ① G 方法总结： 在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． 1.填空： （1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 ； （2）如果等腰三角形的底角等于40 °，那么它的 顶角的度数是 _________ ； （3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这 个三角形的最小内角等于 ____________ . 20 °或50° 当堂练习 100 ° 45 ° ( 4 ) △ ABC 中 ， AB = AC , ∠ A = 36 ◦ , 则 ∠ B = ______， ∠ C = ____ . (5) △ ABC 中 ， AB = AC , ∠ B = 36 ◦ , 则 ∠ A = ______， ∠ C = ____ . 72 ° 72 ° 108 ° 36 ° 方法总结：等边对等角！ 2 . 如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案， 请找出它的对称轴 . 解： ∵ OA = AB ， ∴∠ ABO =∠ O =15 °， ∴∠ BA O =1 50 ° , ∴∠ BAC =∠ ABO +∠ O =30 ° . ∵ AB = BC ， ∴∠ ACB =∠ BAC =30 °， ∴∠ CB O = 135 °，∴∠ CBD =∠ O +∠ ACB =45 ° . ∵ BC = CD ，∴∠ D =∠ CBD =45 °， ∴∠ BCD = 90 ° , ∴∠1= 180 ° － ∠ BC D － ∠ BC O =60 ° . 3.如图， ∠ AOB =15 °，且 OA = AB = BC = CD .求 ∠1的度数. ⌒ 15 ° 1 C D B O A ⌒ 4. 如图，在 Δ ABC 中， AB = AC ,∠ BAC =120 °，点 D , E 是底边上两点，且 BD = AD , CE = AE .求 ∠ DAE 的度数. C E D B A 解 : ∵ AB = AC ,∴∠ B =∠ C ， ∴∠ B =∠ C = （180°－120°）÷ 2 =30° . 又 ∵ BD = AD ,∴∠ BAD =∠ B =30 °. 同理， ∠ CAE =∠ C =30 °. ∴∠ DAE =∠ BAC － ∠ BAD － ∠ CAE =120 ° － 30° － 30° = 60°. 5.A 、 B 是 4×4 网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为 1 ，请在图中标出使以 A 、 B 、 C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置． A B 分别以 A 、 B 、 C 为顶角 顶点来分类讨论！ 8 个 这样分类就不会漏啦！ C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 拓展提升： 等腰三角形的性质 课堂小结 等腰三角形的两个底角相等（ 等边对等角） . 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合 （三线合一） .