第13讲　二次函数的综合应用.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第13讲　二次函数的综合应用 ‎1．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中利润最高的月份是( C )‎ A．5月 B．6月 C．7月 D．8月 ‎2．(2015·金华)图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为( B )‎ A．16米 B.米 C．16米 D.米 ‎3．(2015·六盘水)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 cm，则所围成矩形ABCD的最大面积是( C )‎ A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2‎ ‎4．(2016·凉山模拟)某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为40元．‎ ‎5．(2016·衢州)某农场拟建三间长方形养牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形养牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2.‎ ‎6．(2015·菏泽)二次函数y＝x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为2．‎ ‎7．(2016·绵阳三台县一诊)某经销公司购进一种原料若干千克，成本价为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．‎ ‎(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；‎ ‎(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？‎ 解：(1)设y＝kx＋b，根据题意，得 解得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)．‎ ‎(2)w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6 450＝－2(x－65)2＋2 000.‎ ‎(3)∵当30≤x≤60时，w随x的增大而增大，‎ ‎∴当x＝60时，w有最大值为1 950元．‎ ‎∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1 950元．‎ ‎8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c关于直线x＝1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB＝4，点D(2，)在抛物线上，直线l是一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象，点O是坐标原点．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值．‎ 解：(1)∵抛物线关于直线x＝1对称，AB＝4，‎ ‎∴A(－1，0)，B(3，0)．‎ ‎∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．‎ 又∵点D(2，)在抛物线上，‎ ‎∴＝a·(2＋1)×(2－3)．解得a＝－.‎ ‎∴y＝－(x＋1)(x－3)，‎ 即抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋.‎ ‎(2)令直线l分别交x轴，CD于点E，F.‎ 由(1)知C(0，)．∵D(2，)，‎ ‎∴CD∥AB.‎ 令kx－2＝，解得x＝，∴F(，)．‎ 令kx－2＝0，解得x＝.∴E(，0)．‎ 由S四边形OEFC＝S四边形EBDF，得OE＋CF＝BE＋DF，‎ 即＋＝(3－)＋(2－)．解得k＝.‎ ‎9．(2016·绍兴)课本中有一个例题：‎ 有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？‎ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.‎ 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6 m．利用图3，解答下列问题：‎ ‎(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；‎ ‎(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：(1)由已知得AD＝ m，‎ ‎∴S＝1×＝( m2)．‎ ‎(2)设AB＝x m，则AD＝(3－x)m，‎ ‎∵3－x＞0，‎ ‎∴0＜x＜.‎ 设窗户面积为S，则 S＝AB·AD＝x(3－x)＝－x2＋3x＝－(x－)2＋，‎ 当x＝时，S最大＝＞1.05，‎ ‎∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大了．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎10．(2016·安顺)某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长均为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同，其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是( A )‎ 提示：先求出△AEF和△DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数关系．‎ ‎11．(2016·台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝1.6．‎ ‎12．(2016·成都武侯区二诊)成都地铁规划到2020年将通车13条线路，近几年正是成都地铁加紧建设和密集开通的几年，市场对建材的需求量有所提高，根据市场调查分析可预测投资水泥生产销售后所获得的利润y1(万元)与投资资金量x(万元)满足正比例关系：y1＝20x；投资钢材生产销售后所获得的利润y2(万元)与投资资金金量x(万元)满足函数关系的图象如图所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的的顶点，AB∥x轴)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)直接写出当030时，y2与x之间的函数关系式；‎ ‎(2)某建材经销公司计划投资100万元用于生产销售水泥和钢材两种材料，若设投资钢材部分的资金量为t(万元)，生产销售完这两种材料后获得的总利润为w(万元)．‎ ‎①求w与t之间的函数关系式；‎ ‎②若要求投资钢材部分的资金量不得少于45万元，那么当投资钢材部分的资金量为多少万元时，获得的总利润最大？最大总利润是多少？‎ 解：(1)当030时，y2＝900.‎ ‎(2)①设投资钢材部分的资金量为t万元，则投资生产水泥的资金量为(100－t)万元，‎ 当030时，w＝20(100－t)＋900＝－20t＋2 900.‎ ‎②∵t≥45，‎ ‎∴w＝－20t＋2 900，w随t的增大而减小．‎ ‎∴当t＝45时，w最大＝2 000.‎ 答：当投资钢材部分的资金量为45万元时，获得的总利润最大，最大总利润是2 000万元．‎ ‎13．(2016·永州)已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．‎ ‎(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；‎ ‎(2)当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；‎ ‎(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)令抛物线y＝ax2＋bx－3中x＝0，得y＝－3，‎ ‎∴点C的坐标为(0，－3)．‎ ‎∵抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，代入解析式，得 解得 ‎∴此抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.‎ ‎(2)令A(xA，yA)，B(xB，yB)．‎ 将y＝kx代入y＝x2－2x－3，得kx＝x2－2x－3.‎ 整理，得x2－(2＋k)x－3＝0.‎ ‎∴xA＋xB＝2＋k，xAxB＝－3.‎ ‎∵原点O为线段AB的中点，‎ ‎∴xA＋xB＝2＋k＝0.解得k＝－2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当k＝－2时，x2－(2＋k)x－3＝x2－3＝0，解得 xA＝－，xB＝.‎ ‎∴yA＝－2xA＝2，yB＝－2xB＝－2.‎ ‎∴当原点O为线段AB的中点时，k的值为－2，点A的坐标为(－，2)，点B的坐标为(，－2)．‎ ‎(3)不存在．理由：假设存在这样的实数k.‎ 由(2)可知：xA＋xB＝2＋k，xAxB＝－3，‎ S△ABC＝OC·|xA－xB|‎ ‎＝×3× ‎＝，‎ ‎∴(2＋k)2－4×(－3)＝10，即(2＋k)2＋2＝0.‎ ‎∵(2＋k)2非负，无解，∴假设不成立．‎ ‎∴不存在实数k使得△ABC的面积为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费