题型一 简单几何图形的探究与计算
专题二 解答重难点题型突破
考情总结：
简单几何图形的探究与计算是近五年河南中招考试的必考点
，
分值为
9
分
，
考查背景除
2013
年以四边形为背景外近四年均为圆
，
设问除
2017
年为与切线有关的证明与计算外
，
2013
～
2016
年第二问均以填空题的形式探究特殊四边形存在时的条件．
类型一 特殊四边形的探究
(2013
、
2016.18
，
2014
、
2015.17)
【
例
1
】
如图
，
已知
AB
是半圆
O
的直径
，
∠
ABC
＝
90°
，
点
D
是半圆
O
上一动点
(
不与点
A
、
B
重合
)
，
且
AD
∥
CO
.
(1)
求证：
CD
是⊙
O
的切线；
(2)
填空：①当∠
BAD
＝
________
度时
，
△
OBC
和△
ABD
的面积相等；
②当∠
BAD
＝
________
度时
，
四边形
OBCD
是正方形
.
60
45
【
分析
】
(1)
要证明
CD
是
⊙
O
的切线
，
连接
OD
.
已知
∠
CBO
是直角
，
则证明
△
COD
≌△
COB
，
即可推出
∠
ODC
＝∠
OBC
＝
90°
，
进而可得
CD
是
⊙
O
的切线；
(
2)①△
OBC
和
△
ABD
的面积相等
，
由
AB
＝
2
OB
，
根据特殊三角形的边角关系得
∠
BAD
＝
60°
时满足；
②
当四边形
OBCD
是正方形．则可得
∠
DOB
＝
90°
，
△
AOD
为等腰直角三角形
，
则
∠
BAD
＝
45°.
【
方法指导
】
河南中招考试中特殊四边形的探究为重点考查内容．
(1)
首先需掌握特殊四边形的性质和判定条件等基本性质；
(
2)
根据特殊四边形的判定条件和特殊四边形的性质
，
将所求的线段转化到直角三角形或相似三角形中
，
利用勾股定理或相似三角形对应边成比例列方程进行求解．若所求值为角度时
，
考虑结合圆中直径所对的圆周角为直角
，
半径相等所构成的等腰三角形等
，
进行求解．
45°
3
45°
类型二 几何问题的证明与计算
(2017.18)
【
例
2
】
(2017
·
丽水
)
如图
，
在
Rt△
ABC
中
，
∠
C
＝
90°
，
以
BC
为直径的⊙
O
交
AB
于点
D
，
切线
DE
交
AC
于点
E
.
(1)
求证：∠
A
＝∠
ADE
；
(2)
若
AD
＝
16
，
DE
＝
10
，
求
BC
的长
.
【
分析
】
(1)
要证明
∠
A
＝∠
ADE
，
根据等角的余角相等
，
只要证明
∠
A
＋∠
B
＝
90°
，
∠
ADE
＋∠
B
＝
90°
即可；
(
2)
首先求得
AC
的长
，
在
Rt
△
ADC
中
，
利用勾股定理求得
DC
，
设出
BD
后在
Rt△
BDC
和
Rt
△
ABC
中
，
利用勾股定理分别表示出
BC
，
联立方程求解即可．
(1)
证明：如解图
，
连接
OD
，
∵
DE
是切线
，
∴∠
ODE
＝
90°
，
∴∠
ADE
＋∠
BDO
＝
90°
，
∵∠
ACB
＝
90°
，
∴∠
A
＋∠
B
＝
90°
，
OD
＝
OB
，
∴∠
B
＝∠
BDO
，
∴∠
A
＝∠
ADE
；
【
对应训练
】
1
．
如图
，
已知平行四边形
ABCD
延长边
DC
到点
E
，
使
CE
＝
DC
，
连接
AE
，
交
BC
于点
F
，
连接
AC
、
BE
.
(1)
求证：
BF
＝
CF
；
(2)
若
AB
＝
2
，
AD
＝
4
，
且∠
AFC
＝
2∠
D
，
求平行四边形
ABCD
的面积．
(1)
证明：∵四边形
ABCD
是平行四边形
，
∴
AB
∥
CD
，
AB
＝
CD
，
BC
＝
AD
，
∵
CE
＝
DC
，
∴
AB
＝
EC
，
AB
∥
EC
，
∴四边形
ABEC
是平行四边形
，
∴
BF
＝
CF
；
(1)
证明：如解图
，
连接
OD
，
BD
，
∵
BC
是⊙
O
的直径
，
∴∠
BDC
＝∠
90°
，
∴
BD
⊥
AC
.
∵
AB
＝
BC
，
∴
AD
＝
DC
.
∵
OC
＝
OB
，
∴
OD
∥
BC
，
∵
DE
⊥
AB
，
∴
DE
⊥
OD
.
∴
直线
DE
是⊙
O
的切线；
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