12.5
因式分解
概念、提公因式法
Contents
目录
01
02
03
04
合作探究
例题演示
05
课堂小结
自探提示
巩固练习
能力拓展
06
1
、什么叫多项式的因式分解？举例说明。
2
、因式分解与整式乘法有什么联系和区别？
3
、什么叫公因式？举例说明。
4
、因式分解的方法有哪些？什么叫提公因式法？
自学课本
42
页
-----43
页做一做前的内容并思考
回忆
运用前面所学的知识填空：
试一试
（ ）
填空：
（ ）（ ）
（ ）（ ）
这两组等式有什么联系和区别？
把一个
多项式
化为几个
整式
的乘
积
的形式
,
这就是
因式分解
.
概括定义
如：
1).ma+mb+mc= m
•
(
a+b+c
)
2).a
2
-b
2
=(
a+b)(a-b
)
3).a
2
+2ab+b
2
=(a+b)
2
1).ma+mb+mc= m
•
(
a+b+c
)
2).a
2
-b
2
=(
a+b)(a-b
)
3).a
2
+2ab+b
2
=(a+b)
2
因式分解都是把多项式化为几个整式的积的形式
比一比
整式乘法都是把整式的积化为多项式的形式
因式分解与整式乘法是互逆过程
快言快语 抢答
判断下列各式哪些是整式乘法
?
哪些是因式分解
?
(1)2x(x-3y) = 2x
2
-6xy
(2)x
2
+4x+4 = (x+2)
2
(3) m
2
-4 = (m+2)(m-2)
(4)2πR+ 2πr = 2π(R+r)
整式乘法
因式分解
因式分解
因式分解
多项式中的
每一项
都含有的
相同因式
，叫做这个多项式各项的
公因式
。
公因式
定义
（
1
）
a c+ b c
（
2
）
3
x
2
+9x
（
3
）
a
2
b – 2a
b
2
+
ab
（
4
）
7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)
1.
确定下列各多项式中的公因式？
c
3x
ab
a-3
2.
多项式中的公因式是如何确定的？
（提示：从公因式的系数，字母，字母的指数）
我是最棒的！
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数
公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。（系数是整数时）
定字母
定指数
字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂
例
:
找
2
x
2
+
6x
3
的公因式。
定系数
2
定字母
x
定指数
2
所以，公因式是
2
x
2
如果一个多项式的各项含有公因式，那么
就可以把这个公因式提出来，从而将多项式
化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
方法叫做
提公因式法。
ma+mb+mc
=m(
a+b+c
)
提公因式法
例
因式分解的方法有：
1
、提公因式法
2
、 公式法
把
3a
2
-9ab
因式分解
.
分两步
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式 ，（即将多项式化为两个因式的乘积）
.
例
1
解：原式
=
3a
•a-
3a
•3b =
3a
(a-3b)
注意：
⑴
提取公因式后，另一个因式不能再含有公因式；
⑵
另一个因式的项数与原多项式的项数一致。
（
2
）把
-24
x
3
–12
x
2
+28x
因式分解
.
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“
-”
号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
解：原式
=
=
1
、下列从左到右的变形是分解因式的有
( )
A. 6x
2
y=3xy·2x
B. a
2
－
b
2
+1=(
a+b)(a
－
b)+1
C. a
2
－
ab
=
a(a
－
b)
D. (x+3)(x
－
3)= x
2
－
9
C
2.
若多项式
-6ab+18abx+24aby
的一个因式是
-6ab
，那么另一 个因式是（ ）
（
A
）
-1-3x+4y
（
B
）
1+3x-4y
（
C
）
-1-3x-4y
（
D
）
1-3x-4y
D
3.
若多项式
(a+b)x
2
+(a+b)x
要分解因式
,
则要提的公因式是
.
(
a+b)x
4
、小明解的有误吗？
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是
1
。
错误
解：
抢答我最行！
把下列多项式分解因式
3a+3b=
5x-5y+5z=
-5a
2
+25a=
3a
2
-9ab=
3(a+b)
5(x-y+z)
-5a(a-5)
3a(a-3b)
③
1.
把下列各式因式分解：
看你能否过关？
ab
b
a
b
a
2
6
4
2
3
3
-
+
-
2.
把下列各式因式分解：
(1)2m(x+y)+n(x+y);
(2)a(p-q)-4b(q-p);
(3)4a(x-y)
2
-2b(y-x)
2
;
(4)2(a-3)
2
-a+3.
提炼
整体思想
是数学中一种重要而且常用的思想方法
.
公因式
既可以是一个
单项式
的形式，也可以是一个
多项式
的形式
.
2
、确定公因式的方法：
（
1
）定系数 （
2
）定字母 （
3
）定指数
3
、提公因式法因式分解步骤
(
分两步
)
：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
1
、什么叫因式分解？
4
、用提公因式法因式分解应注意的问题：
（
1
）公因式要提尽；
（
2
）小心漏掉；
（
3
）多项式的首项取正号；
（
4
）公因式是多项式时，要注意符号问题。
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