解直角三角形
复 习 回 顾
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的
锐角三角函数
。
特殊角的三角函数值表
三角函数
锐角
α
正弦sin
α
余弦cos
α
正切tan
α
30
0
45
0
60
0
一个小孩荡秋千，秋千链子的 长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60
0
，且两边摆动的 角度相同，求它摆至最高 位置时与其摆至最低位置 时的高度之差 . (结果精确 到0.01m)
探 究
由题意画出图形，如图， OA、OB即为秋千绳长， 均为2.5m。秋千摆至最高位置B时与其摆至最低位置A时的高度之差即为AE的长，在Rt△OBE中，利用余弦可求出OE的长，AE也就可以求出。
E
O
A
60
o
B
2.5m
分 析
E
O
A
60
o
B
2.5m
过点B作BE⊥OA，连接B、A.
在Rt△OBE中，
解：
则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差为1.25m。
在直角三角形的六个元素中，除直角外，再知道两个元素(其中至少有一个是边)，这个三角形就可以确定下来，即可由已知的两个元素求出其余的三个元素。
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是
解直角三角形
。
梳 理
解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
(1)三边之间的关系：
(2)两锐角之间的关系：
(3)边角之间的关系：
b
A
B
C
a
┌
c
例 题
A
C
B
解：
b
A
B
C
a
┌
c
2、如图,Rt△ABC中, ∠
C=90
o
，∠
A、∠B 、∠C的对边分别是a、b、c，求证:sin
2
A+cos
2
A=1.
分析：
要证明一个等式成立，证其左右两边相等即可。等式左边较复杂，故对左边进行转化。
证明：
在Rt△ABC中,∠C=90
o
,∠A，∠B，∠C的对边分别是a,b,c，则有：
梳 理
sin
2
A+cos
2
A=1.
1、如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸。桥长12m，在C处看桥两端A、B，夹角∠BCA=60
0
。求B、C间的距离(结果精确到1m)。
B
C
A
┐
D
12
分析：
要求的BC边与已知的AB、∠BCA可以通过
正切
衔接。
例 题
B
C
A
┐
D
12
解：
在Rt△ABC中，
还有别的解法吗？
还可以利用正弦求出AC，再由勾股定理求出BC的长。
2、要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角
α
一般要满足50
o
≤
α
≤75
o
。现有一个长6米的梯子,问：
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙 (精确到0.1m) ？
(2)当梯子底端距离墙面2.4m时， 梯子与地面所成的角
α
为多少 (精确到1
o
)？这时人是否能安全使用这个梯子?
(1)
当梯子有地面所成的角α为75
o
时,梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度。
(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，利用余弦即可求出梯子与地面所成的角度,梯子与地面所成角度要满足50
o
≤α≤75
o
,看所求出的α是否在这范围即可。
分 析
A
B
C
α
(1)在Rt△ABC中：
解：
则这个梯子最高可以安全攀上5.8高的墙.
A
B
C
α
(2)在Rt△ABC中，AC=2.4m，AB=6m.
当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66
o
。
由50
o
≤
α
≤75
o
可知，此时使用这个梯子是安全的。
3、一位同学的手臂长65cm，当他高举双臂时，指尖高出头顶35cm。问当他的手臂与水平成60
0
角时，指尖高出头顶多少cm（精确到0.1cm）？
分析：
手臂OA不变，OA=OB，指尖B高出头顶D的距离只要求出BE即可。
60
o
A
B
C
E
O
D
60
o
A
B
C
E
O
D
解：
在Rt△OBC中，
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案。
归 纳
练 习
如图，两建筑物的水平距离BC为24米,从点A测得点D的俯角
α
=30
o
，测得点C的俯角
β
=60
o
，求AB和CD两座建筑物的高。(结果保留根号)
A
B
C
D
α
β
谢谢！
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