2018人教B版数学选修4-4课件1.3　曲线的极坐标方程 1.4　圆的极坐标方程 .ppt

1 . 能在极坐标系中给出简单图形 ( 如过极点的直线 , 过极点或圆心在极点的圆 ) 的方程 . 2 . 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程 , 体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义 . 1 2 3 4 1 . 曲线 C 的极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下 , 有一个二元方程 F ( ρ , θ ) = 0, 如果曲线 C 是由极坐标 ( ρ , θ ) 满足方程的所有点组成的 , 则称此二元方程 F ( ρ , θ ) = 0 为曲线 C 的极坐标方程 . 名师点拨 (1) 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 , 因此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处 . 一条曲线上点的极坐标有多组表示形式 , 这里要求至少有一组能满足极坐标方程 . 有些 1 2 3 4 (2) 今后我们遇到的极坐标方程多是 ρ = ρ ( θ ) 的形式 , 即 ρ 为 θ 的一个函数 . (3) 由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程 ρ = ρ ( θ ) 的图形的对称性 : 若 ρ ( θ ) = ρ ( - θ ), 则相应图形关于极轴对称 ; 若 ρ ( θ ) = ρ ( π - θ ), 则图 1 2 3 4 1 2 3 4 【做一做 1 - 1 】 极坐标方程 ρ = 1 表示 ( 　　 ) A. 直线 B. 射线 C. 圆 D. 椭圆 答案 : C 1 2 3 4 1 2 3 4 4 . 过极点的直线的极坐标方程 直线 l 经过极点 , 极轴与直线 l 的夹角是 θ 0 , 则直线 l 的极坐标方程为 θ = θ 0 ( ρ ∈ R ) . 名师点拨 求平面曲线的极坐标方程 , 就是要找极径 ρ 和极角 θ 之间的关系 , 常用解三角形的知识 ( 正弦定理、余弦定理 ) 、利用三角形的面积相等等来建立 ρ , θ 之间的关系 . 【做一做 2 - 1 】 极坐标方程 表示的曲线是 ( 　　 ) A. 两条相交直线 B. 两条射线 C. 一条直线 D. 一条射线 答案 : A 1 2 3 1 . 直角坐标系与极坐标系的区别 剖析 (1) 在平面直角坐标系内 , 点与有序实数对即坐标 ( x , y ) 是一一对应的 , 可是在极坐标系内 , 虽然一个有序实数对 ( ρ , θ ) 只能与一个点 P 对应 , 但一个点 P 却可以与无数多个有序实数对 ( ρ , θ ) 对应 . 例如 ( ρ ,2 n π + θ ) 与 ( - ρ ,(2 n+ 1) π + θ )( n 为整数 ) 表示的是同一个点 , 所以在极坐标系内点与有序实数对 ( ρ , θ ) 不是一一对应的 . (2) 在直角坐标系内 , 一条曲线如果有方程 , 那么曲线和它的方程是一一对应的 ( 解集完全相同且互相可以推导的等价方程 , 只看作一个方程 ) . 可是在极坐标系内 , 虽然是一个方程只能与一条曲线对应 , 但一条曲线却可以与多个方程对应 , 所以曲线和它的方程不是一一对应的 . 1 2 3 1 2 3 2 . 求极坐标方程的步骤 剖析 求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似 , 就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹 . 将已知条件用曲线上的点的极坐标 ρ , θ 的关系式 F ( ρ , θ ) = 0 表示出来 , 就得到曲线的极坐标方程 , 具体如下 : (1) 建立适当的极坐标系 , 设 P ( ρ , θ ) 是曲线上任意一点 . (2) 由曲线上的点所适合的条件 , 列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式 . (3) 将列出的关系式进行整理 , 化简 , 得出曲线的极坐标方程 . (4) 证明所得方程就是曲线的极坐标方程 , 若方程的推导过程正确 , 化简过程都是同解变形 , 则证明可以省略 . 1 2 3 3 . 常见的直线和圆的极坐标方程 剖析 (1) 直线的极坐标方程 ( a> 0) . ① 过极点 , 并且与极轴成 θ 0 角的直线的极坐标方程 : θ = θ 0 ( ρ ∈ R ); ② 垂直于极轴和极点间的距离为 a 的直线的极坐标方程 : ρ cos θ =a ; ③ 平行于极轴和极轴间的距离为 a 的直线的极坐标方程 : ρ sin θ =a ; ④ 不过极点 , 和极轴成 α 角 , 到极点的距离为 a 的直线的极坐标方程 : ρ sin( α - θ ) =a. 1 2 3 (2) 圆的极坐标方程 ( a> 0) . ① 圆心在极点 , 半径为 a 的圆的极坐标方程 : ρ =a ; ② 圆心在 ( a ,0), 半径为 a 的圆的极坐标方程 : ρ = 2 a cos θ ; ③ 圆心在 ( a , π ), 半径为 a 的圆的极坐标方程 : ρ =- 2 a cos θ ; ⑥ 圆心在 ( a , θ 0 ), 半径为 a 的圆的极坐标方程 : ρ = 2 a cos( θ - θ 0 ) . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 求曲线的极坐标方程的关键是找出曲线上的点满足的几何条件 , 将它用坐标表示 , 然后化简 , 最后求出 ρ 与 θ 的函数关系 , 即为要求的极坐标方程 . 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 本题可用两种解法 : (1) 可先根据题意画出草图 , 并设点 M ( ρ , θ ) 是直线上的任意一点 , 从而由等量关系建立关于 ρ , θ 的方程并化简 , 最后检验是否是所求即可 ; (2) 可先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程 , 然后由 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 解法二 以极点 O 为直角坐标原点 , 极轴为 x 轴 , 建立平面直角坐标系 xOy , 直线方程为 y=x- 1, 将 y= ρ sin θ , x= ρ cos θ ( ρ ≥0) 代入上式 , 得 ρ sin θ = ρ cos θ - 1, 所以 ρ (cos θ - sin θ ) = 1 . 反思 可通过运用正弦定理解三角形建立动点 M 所满足的等式 , 从而建立以 ρ , θ 为未知数的方程 ; 也可先求出直线的直角坐标方程 , 再通过利用直角坐标向极坐标转化的公式间接得解 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 (2) 将 x= ρ cos θ , y= ρ sin θ 代入 x 2 +y 2 + 2 ax= 0, 得 ρ 2 cos 2 θ + ρ 2 sin 2 θ + 2 a ρ cos θ = 0, 即 ρ ( ρ + 2 a cos θ ) = 0, ∴ ρ =- 2 a cos θ , ∴ 圆 x 2 +y 2 + 2 ax= 0( a ≠0) 的极坐标方程为 ρ =- 2 a cos θ , 圆心为 ( -a ,0), 半径为 r=|a|. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 化曲线的直角坐标方程 f ( x , y ) = 0 为极坐标方程 F ( ρ , θ ) = 0, 只要将 x= ρ cos θ , y= ρ sin θ 代入到方程 f ( x , y ) = 0 中即可 . 化为极坐标方程 , 如果不加特殊说明 , 就认为 ρ ≥0 . 例如 x 2 +y 2 = 25 化为极坐标方程 , 有 ρ = 5 或 ρ =- 5 两种情况 , 因为 ρ ≥0, 所以只取 ρ = 5 . 事实上 , 这两个方程都表示以极点为圆心 , 以 5 为半径的圆 . 题型一 题型二 题型三 题型四 【例 4 】 把直角坐标方程 x+y= 0 化为极坐标方程 . 错解 将 x= ρ cos θ , y= ρ sin θ 代入 x+y= 0, 得 ρ cos θ + ρ sin θ = 0 . ∴ ρ (cos θ + sin θ ) = 0 . ∴ tan θ =- 1 . 错因分析 由直角坐标求极坐标时 , 理论上不是唯一的 , 但这里通常约定 θ 只在 [0,2 π ) 范围内取值 . 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 A. 余弦曲线 B. 两条相交直线 C. 一条射线 D. 两条射线 答案 : D 1 2 3 4 5 答案 : A 1 2 3 4 5 答案 : 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5. 在圆心的极坐标为 A (4,0), 半径为 4 的圆中 , 求过极点 O 的弦的中点的轨迹 . 解 : 设 M ( ρ , θ ) 是所求轨迹上任意一点 , 连接 OM 并延长交圆 A 于点 P ( ρ 0 , θ 0 ), 则有 θ 0 = θ , ρ 0 = 2 ρ . 由圆心为 (4,0), 半径为 4 的圆的极坐标方程为 ρ = 8cos θ , 得 ρ 0 = 8cos θ 0 . 所以 2 ρ = 8cos θ , 即 ρ = 4cos θ . 故所求轨迹方程是 ρ = 4cos θ . 它表示以 (2,0) 为圆心 ,2 为半径的圆 .