北师大版九年级下数学《2.3确定二次函数的表达式》课件.pptx

2.3 确定 二次函数的表达式 第二章 二次函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1. 会用待定系数法求二次函数的表达式 .( 难点） 2. 会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题 . （重点） 导入新课 复习引入 1. 一次函数 y = kx + b ( k ≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 2 个 2 个 待定系数法 ( 1 ) 设：（表达式） ( 2 ) 代：（坐标代入） ( 3 ) 解：方程（组） ( 4 ) 还原：（写表达式） ∴ 讲授新课 特殊条件的二次函数的表达式 一 典例精析 　　 例 1. 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ c 的图象经过点 (2,3) 和 ( － 1, － 3) ，求这个二次函数的表达式． 解 :∵ 该图象经过点（ 2,3 ）和 ( － 1, － 3 ) ， 3=4 a + c ， － 3 = a + c ， ∴ 所求二次函数表达式为 y = 2 x 2 － 5. a =2 ， c = － 5. 解得 { 关于 y 轴对称 { 　　 1. 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx 的图象经过点 ( － 2 ， 8) 和 ( － 1 ， 5) ，求这个二次函数的表达式． 解 :∵ 该图象经过点（ -2,8 ）和（ -1,5 ）， 针对训练 图象经过 原点 8=4 a -2 b ， 5= a - b ， ∴ 解得 ∴ y =- x 2 -6 x . { { a=-1, b=-6. 顶点法求二次函数的表达式 二 选取顶点 （ -2 ， 1 ） 和点 （ 1 ， -8 ）， 试求出这个二次函数的表达式 . 解：设这个二次函数的表达式是 y = a ( x - h ) 2 + k , 把顶点 （-2，1） 代入 y = a ( x - h ) 2 + k 得 y = a ( x +2) 2 +1， 再把点 （1，-8） 代入上式得 a (1+2) 2 +1=-8， 解得 a =-1 . ∴所求的二次函数的表达式是 y =-( x +2) 2 +1 或 y=- x 2 -4 x -3 . 归纳总结 顶点法求二次函数的方法 这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做 顶点法 . 其步骤是： ① 设函数表达式是 y= a ( x - h ) 2 + k ； ② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式 . 针对训练 2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1) ，它的顶点坐标为 (8,9) ， 求这个二次函数的表达式 . 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8,9) ，因此，可以设函数表达式为 y = a ( x - 8 ) 2 + 9. 又由于它的图象经过点 (0 ,1) ，可得 1= a ( 0 - 8 ) 2 + 9. 解得 ∴所求的二次函数的 表达 式是 解： ∵ （-3，0）（-1，0） 是抛物线 y = ax 2 +bx+c 与 x 轴的交点 . 所以可设这个二次函数的表达式是 y = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) .(其中 x 1 、 x 2 为交点的横坐标 . 因此得 y = a ( x +3)( x +1) . 再把点 （0，-3） 代入上式得 a (0+3)(0+1)=-3， 解得 a =-1， ∴所求的二次函数的表达式是 y =-( x +3)( x +1),即 y =- x 2 -4 x -3. 选取 （ -3 ， 0 ），（ -1 ， 0 ），（0， -3 ）， 试求出这个二次函数的表达式 . 交点法求二次函数的表达式 三 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 归纳总结 交点法求二次函数表达式的方法 这种知道抛物线与 x 轴的交点，求表达式的方法叫做 交点法 . 其步骤是： ① 设函数表达式是 y = a ( x - x 1 )( x - x 2 )； ② 先把两交点的横坐标 x 1 , x 2 代入到表达式中，得到关于 a 的一元一次方程； ③ 将另一点的坐标 代入原方程求出 a 值； ④ a 用数值换掉，写出函数表达式 . 想一想 确定二次函数的这三点应满足什么条件？ 任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于 x 轴，但不可以平行于 y 轴 . 一般式法求二次函数的表达式 四 合作探究 问题 1 （ 1 ） 二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （ 2 ） 下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 解： 设这个二次函数的表达式是 y= ax 2 + bx +c, 把 （-3，0），（-1，0），（0，-3） 代入 y = ax 2 + bx + c 得 ① 选取 （ -3 ， 0 ），（ -1 ， 0 ），（0， -3 ）， 试求出这个二次函数的表达式 . 9 a -3 b + c =0， a - b + c =0， c =-3， 解得 a =-1， b =-4， c =-3 . ∴所求的二次函数的表达式是 y =- x 2 -4 x -3. 待定系数法 步骤： 1 . 设： （表达式） 2 . 代： （坐标代入） 3 . 解： 方程（组） 4 . 还原： （写表达式） 典例精析 　　 例 2. 已知二次函数的图象经过点 ( － 1,10),(1,4) ， (2,7) 三点， 求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标． 解 : 设所求二次函数的表达式为y= ax 2 + bx + c . ∴ 所求二次函数表达式为 y = 2 x 2 － 5. ∵ 该图象经过点（ 2,3 ）和 ( － 1, － 3 ) ， a =2 ， ∴ 10= a-b + c ， 7 =4 a+ 2 b + c ， c = 5 . 解得 4 =a+b+c b=-3 ， ∴ 二次函数图像对称轴为直线 ，顶点坐标为 . 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做 一般式法 . 其步骤是： ① 设函数表达式为 y = ax 2 + bx + c ； ② 代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到 a , b , c 的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式 . 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 针对训练 3. 一个二次函数的图象经过 (0, 1) 、 (2,4) 、 (3,10) 三点，求这个二次函数的表达式 . 解： 设这个二次函数的表达式是 y= ax 2 + bx +c,由于这个函数经过点 (0, 1) ，可得 c =1. 又由于其图象经过 (2,4) 、 (3,10) 两点，可得 4 a + 2 b + 1 = 4 ， 9 a + 3 b + 1 = 1 0， 解这个方程组，得 ∴所求的二次函数的 表达 式是 当堂练习 1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 . 注 y = ax 2 与 y = ax 2 + k 、 y = a ( x - h ) 2 、 y = a ( x - h ) 2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式 . 注意 x y O 1 2 -1 -2 -3 -4 3 2 1 -1 3 4 5 2. 过点 （2，4）， 且当 x =1 时， y 有最值为 6 ，则其表达式 是 . 顶点坐标是 （1，6） y =-2( x -1) 2 +6 3. 已知二次函数的图象经过点 ( － 1 ，－ 5) ， (0 ，－ 4) 和 (1 ， 1) ．求这个二次函数的表达式． 解：设这个二次函数的表达式为 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ． 依题意得 ∴ 这个二次函数的表达式为 y ＝ 2 x 2 ＋ 3 x － 4. a ＋ b ＋ c ＝ 1 ， c ＝－ 4 ， a-b ＋ c ＝ -5 ， 解得 b ＝ 3 ， c ＝－ 4 ， a ＝ 2 ， 4. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A ( － 1 ， 0) ， B (1 ， 0) ，且过点 M (0 ， 1) ，求此函数的表达式． 解：因为点 A ( － 1 ， 0) ， B (1 ， 0) 是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y ＝ a ( x ＋ 1)( x － 1) ． 又因为抛物线过点 M (0 ， 1) ， 所以 1 ＝ a (0 ＋ 1)(0 － 1) ，解得 a ＝－ 1 ， 所以所求抛物线的表达式为 y ＝－ ( x ＋ 1)( x － 1) ， 即 y ＝－ x 2 ＋ 1. 5 . 综合题： 如图 ， 已知二次函数 的图象经过 A ( 2 ， 0 ) ， B (0 ， －6) 两点． (1) 求这个二次函数的表达式； A B C x y O 解 :∵ 该图象经过点（ 2,0 ）和 (1, － 6 ) ， { -2+2 b + c =0 c =-6 解得 { b =4 c =-6 ∴ 二次函数的表达式为： (2) 设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C ， 连接 BA ， BC ， 求 △ ABC 的积． A B C x y O 解 :∵ 二次函数对称轴为 ∴ c 点坐标为（2,0） 6 .已知一条抛物线经过 E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1） 四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　） A ． E ， F B ． E ， G C ． E ， H D ． F ， G C 7 .如果抛物线 y=x 2 -6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是3，那么 c 的值等于（　　） A ． 8 B ． 14 C ． 8 或 14 D ． -8 或 -14 C 8. 如图，抛物线 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c 过点 A ( － 4 ，－ 3) ，与 y 轴交于点 B ，对称轴是 x ＝－ 3 ，请解答下列问题： (1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A ( － 4 ，－ 3) 代入 y ＝ x 2 ＋ bx ＋ c 得 16 － 4 b ＋ c ＝－ 3 ， c － 4 b ＝－ 19. ∵ 对称轴是 x ＝－ 3 ， ∴ ＝－ 3 ， ∴ b ＝ 6 ， ∴ c ＝ 5 ， ∴ 抛物线的表达式是 y ＝ x 2 ＋ 6 x ＋ 5 ； (2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C ， D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD ＝ 8 ，求 △ BCD 的面积． ∵ CD ∥ x 轴， ∴ 点 C 与点 D 关于 x ＝－ 3 对称． ∵ 点 C 在对称轴左侧，且 CD ＝ 8 ， ∴ 点 C 的横坐标为－ 7 ， ∴ 点 C 的纵坐标为 ( － 7) 2 ＋ 6×( － 7) ＋ 5 ＝ 12. ∵ 点 B 的坐标为 (0 ， 5) ， ∴△ BCD 中 CD 边上的高为 12 － 5 ＝ 7 ， ∴△ BCD 的面积＝ ×8×7 ＝ 28. 课堂小结 ①已知三点坐标 ②已知顶点坐标或对称轴或最值 ③已知抛物线与x轴的两个交点 已知条件 所选方法 用一般式法： y = ax 2 + bx + c 用顶点法： y = a ( x - h ) 2 + k 用交点法： y = a ( x - x 1 )( x - x 2 ) ( x 1 , x 2 为交点的横坐标） 待定系数法 求二次函数解析式