北师大版七年级数学下册《2.1.1对顶角、余角和补角》课件.ppt

2.1 两条直线的位置关系 第二章 相交线与平行线 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 对顶角、补角和余角 学习目标 1. 理解对顶角、补角、余角的概念； 2. 掌握对顶角、补角、余角的性质，并能运用它们的 性质进行角的运算及一些实际问题 . （重点、难点） 观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系 . 导入新课 情境引入 生活中处处可见道路、房屋、山川、桥梁 . 在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线 . 在同一平面内，两条直线的位置关系有 相交 和 平行 两种 . 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 相交线 . 在同一平面内，不相交的两条直线叫作 平行线 . 如图，直线 AB 、 CD 相交于 O ， ∠ 1 和∠ 2 有什么位置关系？ 2 1 A B C D O 3 4 讲授新课 对顶角的概念及性质 一 探究一 : 1. 有公共 顶点， 2. 两边互为 反向延长线 . 请你观察图中∠ 1 和∠ 2 这组对顶角，你发现它们的大小有什么关系 ? 2 1 A B C D O 探究二 : ∠ 1= ∠ 2 对顶角相等 如图直线 AB 与 CD 相交于点 O ，∠ 1 和∠ 3 有公共顶点 O ，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.∠ 2 和∠ 4 也是对顶角 . 对顶角： A O C B D 1 3 2 4 总结归纳 对顶角相等 对顶角的性质： 例 1 下列各图中，∠ 1 与∠ 2 是对顶角的是（ ） 1 2 C 1 2 D D 1 2 A 1 2 B 典例精析 方法总结：对顶角是由两条相交直线构成的， 只有两条直线相交时，才能构成对顶角． 例 2 如图，直线 AB 、 CD ， EF 相交于点 O ， ∠1 ＝ 40 ° ， ∠ BOC ＝ 110 ° ， 求 ∠2 的度数 . 解：因为 ∠ 1 ＝ 40 ° ， ∠ BOC ＝ 110 ° ( 已知 ) ， 所以 ∠ BOF ＝ ∠ BOC － ∠ 1 ＝ 110 ° － 40° ＝ 70° . 因为 ∠ BOF ＝ ∠ 2 ( 对顶角相等 ) ， 所以 ∠ 2 ＝ 70 ° ( 等量代换 ) ． 注意：隐含条件 “ 对顶角相等” . 3 4 如果两个角的和等于 180 ° ( 平角 ) ，就说这两个角 互为补角 ( 简称 互补 ). 可以说 ∠3 是 ∠4 的补角或 ∠4 是 ∠3 的补角 . 定义： 补角和余角的概念 二 2 1 如果两个角的和等于 90 ° ( 直角 ) ，就说这两个角 互为余角 ( 简称 互余 ). 可以说 ∠1 是 ∠2 的余角或 ∠2 是 ∠1 的余角 . 定义： ∠ α ∠ α 的余角 ∠ α 的补角 5 ° 32 ° 45 ° 77 ° 62 °23′ 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° x °( x < 90) 90° x ° 180° x ° 观察可得结论： 同一个锐角的补角比它的余角大 ________. 做一做 90° 图 1 N 2 D C O 1 3 4 A B 图 2 如图 1 ，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时 ∠1=∠2 ，将图 1 简化成图 2 ， ON 与 DC 交于点 O ， ∠ DON =∠ CON =90 0 ， ∠1=∠2. 补角和余角的性质 三 小组合作交流，解决下列问题：在图 2 中 问题 1 ：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题 2 ： ∠3 与 ∠4 有什么关系？为什么？ 问题 3 ： ∠ AOC 与 ∠ BOD 有什么关系？为什么？ 因为 ∠1= ∠2 ， ∠1+ ∠ AOC = 180 ° , ∠ 2+ ∠ BOD = 180 °， 所以 ∠ AOC = ∠ BOD . 同角 ( 等角 ) 的补角相等 N 2 D C O 1 3 4 A B 图 2 因为 ∠1= ∠2 ， ∠ 1+∠3= 90 ° , ∠ 2+∠4= 90 ° ， 所以 ∠ 3=∠4. 同角 ( 等角 ) 的余角相等 归纳总结：同角 ( 等角 ) 的补角相等，同角 ( 等角 ) 的余角相等 . N 2 D C O 1 3 4 A B 图 2 例 3 如图，已知 ∠ AOB 在 ∠ AOC 内部， ∠ BOC ＝ 90° ， OM 、 ON 分别是 ∠ AOB ， ∠ AOC 的平分线， ∠ AOB 与 ∠ COM 互补，求 ∠ BON 的度数． 解： ∵∠ AOB 与 ∠ COM 互补， ∴∠ AOB ＋ ∠ COM ＝ 180° ， 即 ∠ AOB ＋ ∠ BOM ＋ ∠ COB ＝ 180°. ∵∠ COB ＝ 90° ， ∴∠ AOB ＋ ∠ BOM ＝ 90°. ∵ OM 是 ∠ AOB 的平分线， ∴∠ BOM ＝ ∠ AOB ，即 ∠ AOB ＋ ∠ AOB ＝ 90° ，解得 ∠ AOB ＝ 60° ， ∴∠ AOC ＝ ∠ BOC ＋ ∠ AOB ＝ 90° ＋ 60° ＝ 150°. ∵ ON 平分 ∠ AOC 得 ∠ AON ＝ ∠ AOC ＝ ×150° ＝ 75°. 由角的和差， ∴∠ BON ＝ ∠ AON － ∠ AOB ＝ 75° － 60° ＝ 15°. 1. 下列说法中，正确的有（　 ）①对顶角相等②相等的角是对顶角③不是对顶角的两个角就不相等④不相等的角不是对顶角 A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 0 个 B 当堂练习 √ √ 2. 判断下列各图中∠ 1 和∠ 2 是否为对顶角，并说明 理由？ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 √ × × × × × 3. 图中给出的各角，哪些互为补角？ 10 o 30 o 60 o 80 o 100 o 120 o 150 o 170 o 4. 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15 o 24 o 66 o 75 o 46.2 o 43.8 o 5. 如图 , 已知 ∠ AOB =90° ， ∠ AOC = ∠ BOD ，则与 ∠ AOC 互余的角有 _________ _____ ____. ∠ BOC 和 ∠ AOD 6. 如图已知：直线 AB 与 CD 交于点 O , ∠ EOD =90 0 , 回答下列问题： （ 1 ） ∠ AOE 的余角是 ；补角是 ； （ 2 ） ∠ AOC 的余角是 ；补角是 ； 对顶角是 ； C A B D O E ∠ AOC ∠ BOE ∠ AOE ∠ BOC ∠ BOD 7. 如图 ,∠ COD =∠ EOD =90°, C 、 O 、 E 在一条直线上 , 且∠ 2= ∠4, 请说出∠ 1 与∠ 3 之间的关系 ? 并试着说明理由 ? O ∠ 1 与∠ 3 相等 ( 等角的余角相等 ). 8. 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数 . 解：设这个角是 x ° ，则它的补角是 (180° － x °), 余角是 (90° － x °) . 根据题意，得 180° － x °= 4 (90° － x °). 解得 x =60. 答：这个角的度数是 60 °. 9. 要测量两堵墙所成的角的度数，但人不能进入 围墙，如何测量？ A B O C D 你能想到几种方法？ 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等 对顶角性质：对顶角相等. 课堂小结