人教A版高中数学选修2-1《3.1.1空间向量及其加减运算》课件.pptx

第三章　 §3.1　 空间向量及其运算 3.1.1 　空间向量及其加减运算 学习目标 1. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念 . 2 . 会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律 . 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一　空间向量的概念 思考 　 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念 . 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量 . 答案 梳理 (1) 在空间，把 具有 和 的 量叫做空间向量，向量的大小叫做向量 的 或 . 空间向量也用有向线段表示，有向线段 的 表示 向量的模，向量 a 的起点是 A ，终点是 B ，则向量 a 也可记 作 ， 其模记 为 . 长度 大小 方向 长度 模 (2) 几类特殊的空间 向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为 0 的向量 叫做 ， 记为 0 单位向量 的 向量称为单位向量 相反向量 与向量 a 长度 而方向 的 向量，称为 a 的相反向量，记为－ a 相等向量 方向 且模 的 向量称为相等向量 ， 且 的 有向线段表示同一向量或相等向量 零向量 模为 1 相等 相反 相同 相等 同向 等长 知识点二　空间向量的加减运算及运算律 思考 1 　 下面给出了两个空间向量 a 、 b ，作出 b ＋ a ， b － a . 如图，空间中的两个向量 a ， b 相加时，我们可以先把向量 a ， b 平移到同一个平面 α 内，以任意点 O 为 答案 思考 2 　 由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？ 先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则 ( 三角形法则 、平行四边形法则 ) 运算即可；图 1 是三角形法则， 图 2 是平行四边形法则 . 答案 梳理 (1) 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算 . (2) 空间向量加法交换律 a ＋ b ＝ ， 空间向量加法结合律 ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c ). b ＋ a 题型探究 类型一　有关空间向量的概念的理解 例 1 　给出以 下结论： ① 两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ② 若空间向量 a ， b 满足 | a | ＝ | b | ，则 a ＝ b ； ③ 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，必 有 ④ 若空间向量 m ， n ， p 满足 m ＝ n ， n ＝ p ，则 m ＝ p . 其中不正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故 ① 不正确； 若空间向量 a ， b 满足 | a | ＝ | b | ，则不一定能判断出 a ＝ b ，故 ② 不正确； 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，必 有 成立 ，故 ③ 正确； ④ 显然正确 . 故选 B. 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等 . 两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反 . 反思与感悟 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 解析 (2) 如图，在长方体 ABCD － A ′ B ′ C ′ D ′ 中， AB ＝ 3 ， AD ＝ 2 ， AA ′ ＝ 1 ，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ① 单位向量共有多少个 ？ 解答 ② 试写出模 为 的 所有向量 . 解答 ③ 试写出与 向量 相等 的所有向量 . 解答 ④ 试写出 向量 的 所有相反向量 . 解答 类型二　空间向量的加减运算 例 2 　如图 ， 已知长方体 ABCD － A ′ B ′ C ′ D ′ ， 化简 下 列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量 . 解答 解答 结合加法 运算 解答 引申探究 反思与感悟 (3) 空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即 a － b ＝ a ＋ ( － b ). (4) 由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律 . 所以 ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c ). ∵ 平行六面体的六个面均为平行四边形 ， 证明 当堂训练 1. 下列命题中，假命题是 A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C. 只有零向量的模等于 0 D. 空间中任意两个单位向量必 相等 √ 2 3 4 5 1 答案 2. 在平行六面体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，与 向量 相等 的向量共有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 √ 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 向量 a ， b 互为相反向量，则 a ， b 模相等、方向相反 . 故 D 正确 . 3. 向量 a ， b 互为相反向量 ， 已知 | b | ＝ 3 ， 则下列结论正确的是 A. a ＝ b B. a ＋ b 为实数 0 C. a 与 b 方向相同 D.| a | ＝ 3 √ 答案 解析 4. 在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中，已知下列各式： 4 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 0 答案 解析 规律与方法 1. 一些特殊向量的特性 (1) 零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的 . (2) 单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是 1. (3) 两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同 . 若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量 . 2. 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1) 巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接 . (2) 巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果 .