16.1
二根次式
第十六章 二次根式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第
1
课时 二次根式的概念
学习目标
1.
理解二次根式的概念
.
（重点）
2.
掌握二次根式有意义的条件
.
（重点）
3.
会利用二次根式的非负性解决相关问题
.
（难点）
导入新课
情景引入
里约奥运会上，哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？你能猜出下面表情包是谁吗？
你们是根据哪些特征猜出的呢？
下面来看傅园慧在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包
.
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也
.
”
----
中科院数学与系统科学研究院
李邦河
复习引入
问题
1
什么叫做平方根
?
一般地，如果一个数的平方等于
a
，那么这个数叫做
a
的平方根
.
问题
2
什么叫做算术平方根
?
如果
x
2
=
a
（
x
≥
0
），那么
x
称为
a
的算术平方根
.
用 表示
.
问题
3
什么数有算术平方根
?
我们知道
,
负数没有平方根
.
因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或
0.
思考
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)
如图
的海报为正方形，若
面积为
2m
2
,
则边长为
_____
m
；
若面积为
S
m
2
，则
边长为
_____
m
．
(2)
如图
的海报为长方形，若长是宽的
2
倍，面积为
6m
2
，则它的宽为
_____m
．
图
图
（
3
）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间
t
（单位：
s
）与开始落下的高度
h
（单位：
m
）满足关系
h
=5
t
2
，如果用含有
h
的式子表示
t
，那么
t
为
_____
．
问题
1
这些式子分别表示什么意义？
分别表示
2
，
S
，
3
， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
讲授新课
二次根式的概念及有意义的条件
一
①
根指数都为
2
;
②
被开方数为非负数
.
问题
2
这些式子有什么共同特征？
归纳总结
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式
.
“ ”
称为二次根号
.
两个必备特征
①
外貌特征：含有
“ ”
②
内在特征：被开方数
a
≥
0
注意：
a
可以是数，也可以是式
.
例
1
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)
均是二次根式，其中
a
2
+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.
(3)(5)
(7)
均不是二次根式
.
是否含二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
典例精析
例
2
当
x
是怎样的实数时
,
在实数范围内有
意义
?
解：由
x
-
2
≥
0
，得
x
≥
2.
当
x
≥
2
时， 在实数范围内有意义
.
解：由题意得
x
-
1
＞
0
，
∴
x
＞
1.
解：
∵
被开方数需大于或等于零，
∴3+
x
≥0，∴
x
≥-3
.
∵
分母不能等于零，
∴
x
-1≠0，∴
x
≠1
.
∴
x
≥-3 且
x
≠1
.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数
≥0
，列不等式求解即可
.
若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑
分母不为零
.
归纳
解：
(1)∵
无论
x
为何实数，
∴当
x
=1
时， 在实数范围内有意义
.
(2)
∵
无论
x
为何实数，
-
x
2
-2
x
-3=-(
x
+1)
2
-2
＜
0
，
∴
无论
x
为何实数， 在实数范围内都无意义
.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论
.
归纳
(1)
单个二次根式如 有意义的条件：
A
≥0
；
(2)
多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3)
二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：
A
＞
0
；
(4)
二次根式与分式的和如 有意义的条件：
A
≥0
且
B
≠0.
归纳总结
1.
下列各式：
.
一定是二次根式的个数有 （ ）
A.3
个
B.4
个
C.5
个
D.6
个
B
2.(1)
若式子 在实数范围内有意义，则
x
的取值
范围是
_______;
(2)
若式子 在实数范围内有意义，则
x
的
取值范围是
___________.
x
≥1
x
≥0
且
x
≠2
练一练
问题
1
当
x
是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者
x
为全体实数；后者
x
为正数和
0
.
当
a
＞
0
时， 表示
a
的算术平方根，因此 ＞
0
；当
a
=0
时， 表示
0
的算术平方根，因此
=0.
这就是说，当
a
≥0
时，
≥0.
问题
2
二次根式 的被开方数
a
的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
二次根式的双重非负性
二
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根
.
对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（
1
）
a
为被开方数，为保证其有意义，可知
a
≥0
；
（
2
） 表示一个数或式的算术平方根，可知
≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
例
3
若 ，求
a
-
b
+
c
的值
.
解：
由题意可知
a
-2=0,
b
-3=0,
c
-4=0,
解得
a
=2,
b
=3,
c
=4.
所以
a
-
b
+
c
=2
-
3+4=3
.
多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零
.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式
.
归纳
典例精析
例
4
已知
y
= ,
求
3
x
+2
y
的算术平方根
.
解：由题意得
∴
x
=3，
∴
y
=8，
∴3
x
+2
y
=25
.
∵
25的算术平方根为5，
∴
3
x
+2
y
的算术平方根为5．
解：由题意得
∴
a
=3，
∴
b
=4
.
当
a
为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当
b
为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
若 ，则根据被开方数大于等于
0
，可得
a
=0.
归纳
已知|3
x
-
y
-1|和 互为相反数，求
x
+4
y
的平方根．
解：由题意得3
x
-
y
-1=0且2
x
+
y
-4=0．
解得
x
=1，
y
=2．
∴
x
+4
y
=1+2
×
4=9
，
∴
x
+4
y
的平方根为±
3.
练一练
当堂练习
2
.
式子 有意义的条件是 （ ）
A.
x
＞
2 B.
x
≥
2 C.
x
＜
2 D.
x
≤
2
3.
当
x
=
____
时，二次根式 取最小值，其最小值
为
______
．
1.
下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
-1
0
4
.
当
a
是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
5.(1)
若二次根式 有意义，求
m
的取值范围．
解：由题意得
m
-2≥0且
m
2
-
m
-2≠0，
解得
m
≥2且
m
≠-1，
m
≠2，
∴
m
＞2．
(2)
无论
x
取任何实数，代数式 都有意义，求
m
的取值范围．
解：由题意得
x
2
+6
x
+
m
≥0，
即
(
x
+3
)
2
+
m
-9≥0
.
∵(
x
+3
)
2
≥0，
∴
m
-9≥0，即
m
≥9
.
6.
若
x
，
y
是实数，且
y
＜
,
求 的值
.
解：根据题意得，
∴
x
=1
.
∵
y
＜
,
∴
y
＜ ，
∴
.
7.
先阅读，后回答问题：
当
x
为何值时， 有意义？
解：由题意得
x
(
x
-1
)
≥0
由乘法法则得
解得
x
≥1 或
x
≤0
即当
x
≥1 或
x
≤0时， 有意义
.
能力提升：
体会解题思想后，试着解答：当
x
为何值时，
有意义？
解：由题意得
则
解得
x
≥2或
x
＜ ，
即当
x
≥2或
x
＜ 时， 有意义．
课堂小结
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集
.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中
,
a
≥0
且
≥0
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