2018年秋人教B版数学选修1-1 3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数　导数的几何意义.ppt

名师点拨 (1) 运动的瞬时速度就是路程函数 y=s ( t ) 的瞬时变化率 . (2) 运动的瞬时加速度就是速度函数 y=v ( t ) 的瞬时变化率 . 【做一做 1 】 一质点作直线运动 , 其位移 s 与时间 t 的关系是 s= 3 t-t 2 , 则质点的初速度为 　　　　　 .   解析 : 质点的初速度即为 s= 3 t-t 2 在 t= 0 处的瞬时变化率 . Δ s=s (0 + Δ t ) -s (0) = 3(Δ t ) - (Δ t ) 2 ,   当 Δ t →0 时 ,3 - Δ t →3, 故质点的初速度为 3 . 答案 : 3 【做一做 2 】 函数 f ( x ) =x 2 在 x= 1 处的导数为 　　　　　 .   3 . 导函数 如果 f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内每一点 x 处导数都存在 , 则称 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内可导 . 这样 , 对开区间 ( a , b ) 内 每个值 x , 都对应一个确定的导数 f' ( x ), 于是在区间 ( a , b ) 内 f' ( x ) 构成一个新的函数 , 我们把这个函数称为函数 y=f ( x ) 的 导函数 . 记为 f' ( x )( 或 y x ' 、 y' ) . 导函数通常简称为导数 . 如不特别指明求某一点的导数 , 求导数指的就是求导函数 . 【做一做 3 】 函数 f ( x ) =x 2 的导数为 　　　　　 .  解析 : 求函数 f ( x ) =x 2 的导数就是求其在其定义域内任一点 x 处的导数 . 当 Δ x →0 时 ,2 x+ Δ x →2 x , 故函数 f ( x ) =x 2 的导数为 2 x , 即 f' ( x ) = 2 x. 答案 : 2 x 4 . 导数的几何意义 函数 y=f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的 切线的斜率 . 也就是说 , 曲线 y=f ( x ) 在点 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜率为 f' ( x 0 ), 相应的切线方程为 y-y 0 =f' ( x 0 )( x-x 0 ) . 名师点拨 如果函数在 x 0 处的导数不存在 , 那么 说明斜率不存在 , 此时切线方程为 x=x 0 . 【做一做 4 】 曲线 y=x 2 在点 (2,4) 处的切线的斜率为 　　　　　 .  解析 : 曲线 y=x 2 在点 (2,4) 处的切线的斜率就是函数 y=x 2 在 x= 2 处的导数 . 答案 : 4 1 . 如何求函数 y=f ( x ) 在点 x 0 处的导数 ? 剖析 :(1) 求函数值的改变量 Δ y ; 2 . “ 函数在一点处的导数 ”“ 导函数 ”“ 导数 ” 三者之间有何区别与联系 ? 剖析 (1) 函数在一点处的导数 f' ( x 0 ) 是一个常数 , 不是变量 . (2) 函数的导数是针对某一区间内任意点 x 而言的 . 函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内每一点都可导 , 是指对于区间 ( a , b ) 内每一个确定的值 x 0 , 都对应着一个确定的导数 f' ( x 0 ) . 根据函数的定义 , 在开区间 ( a , b ) 内就构成了一个新的函数 , 就是函数 f ( x ) 的导函数 f' ( x ) . (3) 函数 y=f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f' ( x 0 ) 就是导函数 f' ( x ) 在点 x=x 0 处的函数值 , 即 3 . “Δ x →0” 的意义 . 剖析 :Δ x 与 0 的距离要多近有多近 , 即 | Δ x- 0 | 可以小于给定的任意小的正数 , 但始终有 Δ x ≠0 . 题型一 题型二 题型三 题型四 导数的定义 【例 1 】 已知函数 y=f ( x ) 在点 x 0 处可导 , 试求下列各极限的值 . 分析 : 利用函数 y=f ( x ) 在点 x 0 处可导的条件 , 可将给定的极限式变形成导数定义的结构形式来解决问题 . 导数定义中增量 Δ x 的形式是多种多样的 , 但不论 Δ x 选择哪种形式 ,Δ y 也应与之相对应 . 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 解决此类问题应将给定的极限形式恒等变形转化为导数定义的结构形式即可解决 . 题型一 题型二 题型三 题型四 求导数 反思 函数的导数与在点 x 0 处的导数不是同一概念 , 在点 x 0 处的导数是函数的导数在 x=x 0 处的函数值 . 分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧 , 要认真体会 . 题型一 题型二 题型三 题型四 利用导数求曲线的切线方程 分析 先利用导数的几何意义求斜率 , 然后用点斜式写出直线方程 . 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 (1) 求曲线 y=f ( x ) 在某点处的切线方程的一般步骤 : ① 求出函数 y=f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f' ( x 0 ); ② 根据点斜式得切线方程 y-y 0 =f' ( x 0 )( x-x 0 ) . 注意 ( x 0 , y 0 ) 为曲线上的点并且是切点 . (2) 函数 f ( x ) 在点 x 0 处有导数 , 则在该点处曲线 f ( x ) 必有切线 , 且导数值是该切线的斜率 ; 反之 , 不成立 . 例如 , 在点 x= 0 处有切线 , 但它不可导 . 题型一 题型二 题型三 题型四 易错题型 【例 4 】 试求过点 P (3,5) 且与曲线 y=x 2 相切的直线的方程 . 错解 ∵ 函数 y=x 2 的导数为 y'= 2 x , ∴ y'| x= 3 = 2 × 3 = 6 . ∴ 切线方程为 y- 5 = 6( x- 3), 即 y= 6 x- 13 . 错因分析 没有注意到点 P 不在曲线上 , 点 P 不是切点 , 错解中把点 P 当成了切点 , 从而导致错误 . 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 函数 y=x 2 的导数为 y'= 2 x. 设所求切线的切点为 A ( x 0 , y 0 ), 解得 x 0 = 1 或 x 0 = 5, 从而切点 A 的坐标为 (1,1) 或 (5,25) . 当切点为 (1,1) 时 , 切线的斜率为 2 x 0 = 2; 当切点为 (5,25) 时 , 切线的斜率为 2 x 0 = 10 . ∴ 所求切线有两条 , 方程分别为 y- 1 = 2( x- 1) 或 y- 5 = 10( x- 25), 即 y= 2 x- 1 或 y= 10 x- 245 . 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 求曲线上在点 P 处的切线与过点 P 的切线有区别 , 在点 P 处的切线 , 点 P 必为切点 ; 求过点 P 的切线 , 点 P 未必是切点 , 点 P 也不一定在已知曲线上 . 应注意概念区别 , 其求解方法上也有所不同 , 要认真体会 . 若点 P 在曲线上 , 要分点 P 是切点和不是切点两种情况解决 . 4 曲线 y=x 2 在点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线的斜率为 2, 则 x 0 = 　　　　　 .   5 试求过点 P (0, - 1) 且与曲线 y=f ( x ) =x 2 + 3 相切的直线方程 .