3.1
探索勾股定理（
1
）
思考
如图，从电线杆离地面
8 m
处向地面拉一条钢索，若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部
6 m
，那么需要多长的钢索？
想一想，你需要求哪些线段长度，这些长度能确定吗？
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图
1-1
图
1-2
(1)
观察图
1-1
正方形
A
中含有
.
个小方格，即
A
的面积是
个单位面积
.
正方形
B
的面积是
个单位面积
.
正方形
C
的面积是
个单位面积
.
9
9
9
18
你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流
.
（
2
）
做一做
C
A
B
A
B
C
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
正方形周边上的格点数
a
=12
正方形内部的格点数
b
=13
利用皮克公式
所以，正方形
C
的面积为：
（单位面积）
图
1-1
图
1-2
方法
1
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图
1-1
图
1-2
分割成若干个直角边为整数的三角形
（单位面积）
方法
2
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图
1-1
图
1-2
(
单位面积
)
把
C
看成边长为
6
的正方形面积的一半
方法
3
A
B
C
A
B
C
（图中每个小方格代表一个单位面积）
图
1-1
图
1-2
(2)
在图
1-2
中，正方形
A
，
B
，
C
中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？
(3)
你能发现图
1-1
中三个正方形
A
，
B
，
C
的面积之间有什么关系吗？
S
A
+S
B
=S
C
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
（
3
）
A
B
C
图
1-3
A
B
C
图
1-4
(1)
观察图
1-3
、图
1-4
，并填写下表：
A
的面积（单位面积）
B
的面积（单位面积）
C
的面积（单位面积）
图
1-3
图
1-4
16
9
25
4
9
13
你是怎样得到表中的结果的？与同伴交流交流
.
做一做
A
B
C
图
1-3
A
B
C
图
1-4
分割成若干个直角边为整数的三角形
(
面积单位
)
A
B
C
图
1-3
A
B
C
图
1-4
(2)
三个正方形
A
，
B
，
C
的面积之间有什么关系？
S
A
+S
B
=S
C
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
A
B
C
图
1-3
A
B
C
图
1-4
(1)
你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
(2)
你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流
.
(3)
分别以
5
厘米、
12
厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度
.(2)
中的规律对这个三角形仍然成立吗？
议一议
勾股定理（
gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为
a
、
b,
斜边为
c
，那么
即
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
.
a
b
c
勾
股
弦
在西方又称毕达哥拉斯定理耶！
结论
小明的妈妈买了一部
29
英寸
(74
厘米
)
的电视机
.
小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有
58
厘米长和
46
厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了
.
你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的
29
英寸或
74
厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度
∴
售货员没搞错
∵
荧屏对角线大约为
74
厘米
做一做
说说这节课你有什么收获？
内容总结：探索直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；利用勾股定理解决实际问题
.
方法总结：
① 数方格看图找关系，利用面积不变的方法；
② 用直角三角形三边表示三个正方形面积
——
观察归纳发现勾股定理
——
任意画一个直角三角形，再验证自己的发现
.
小结
延伸拓展
1
、情境引入中的
“
围地
”
问题
.
2
、如图，一艘船在
A
处要到达小岛
B
处，但
AB
之间有暗礁，为了行船安全，船先向正西方向行驶了
400
海里，再向正南方向行驶了
300
海里便到达了小岛
B
，请你计算
A
与
B
之间的直线距离是多少
.
3
、高速公路上有
A
、
B
两站相距
25 km
，
C
、
D
为两个小集镇，
DA⊥AB
与
A
，
CB⊥AB
与
B,
已知
DA
＝
15 km
，
CB
＝
10 km
，现在要在公路
AB
边上建设一个土特产收购站
E
，使得
C
、
D
两镇到
E
站的距离相等，则
E
站应建在距
A
站多少千米处？
B
A
D
B
A
E
C
一、课后习题
二、准备
4
张全等的直角三角形纸片
a
b
c
作业
我国数学家华罗庚曾经建议，要探知其他星球上有没有“人”，我们可以发射下面的图形，如果他们是“文明人”，必定认识这种“语言”
.
史话勾股定理
a
b
c
勾股定理
勾股定理
：
A
B
C
直角三角形中，两直角边
a
、
b
的平方和等于斜边
c
的平方
即
+
=
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作
《
周髀算经
》
中记录着
商高
同周公的一段对话
.
商高说：
“
…
故折矩，勾广三，股修四，径隅五
.
”
商高这段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为
3
（短边）和
4
（长边）时，径隅（就是弦）则为
5.
以后人们就简单地把这个事实说成
“
勾三股四弦五
”
.
故称之为
“
勾股定理
”
或
“
商高定理
”
.
在西方，希腊数学家欧几里德（
Euclid
，是公元前三百年左右的人）在编著
《
几何原本
》
时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为
“
毕达哥拉斯定理
”
，以后就流传开了
.
毕达哥拉斯（
Pythagoras
）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年
相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有“百牛定理”之称
.
公元
1945
年，人们惊奇地发现了一份古巴比伦人的数学手稿，据考证，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大致在公元前
18
世纪
.
手稿中难以令人置信地列出了
15
组勾股数，如下表
：
序号
勾股数
序号
勾股数
1
119
、
120
、
169
9
481
、
600
、
769
2
3367
、
3456
、
4825
10
4961
、
6480
、
8161
3
4601
、
4800
、
6649
11
45
、
60
、
75
4
12709
、
13500
、
18541
12
1679
、
2400
、
2929
5
65
、
72
、
97
13
161
、
240
、
289
6
319
、
360
、
481
14
1771
、
2700
、
3229
7
2291
、
2700
、
3541
15
56
、
90
、
106
8
799
、
960
、
1249
这些数，即使在今天也远不是人人都很熟悉，天晓得古巴比伦人当时是怎样弄到这些数的！如果考古学家坚信自己没有弄错历史年代的话，那么上面的史实表明：在世界的其他地方还不知道
3
、
4
、
5
的关系的时期，古巴比伦人就已经有了一个相当灿烂的文化
.
这无疑给人类早期的文明史，又增添了一个千古之迷！
怎样寻找勾股数：
1
、牢记几组常用的勾股数
2
、利用公式来推导
x=m
2
-
n
2
y=
2
mn
z
=
m
2
+
n
2
(
m
、
n
是任意两个正整数，且
m
＞
n
)
再见
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