一次函数的应用（1） 教案.doc

一次函数的应用 （第一课时） 【 义务教育教科书北师版八年级上册 】 学校： ________ 教师： ________ 1. 什么是一次函数 ? 2. 一次函数的图象是什么？ 若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b (k,b 为常数 , k ≠0) 的形式 , 则称 y 是 x 的一次函数 . 一条直线 课前回顾 一次函数 图象 性质 时 随 的增大而 ，图象必经过 象限 时 随 的增大而 ，图象必经过 象限 x y x y o x y o o x y o x y o x y o 减小 增大 一 , 三 二 , 四 b b b b b b 常数项 决定一次函数图象与 轴交点的位置 . b y 课前回顾 2. 一次函数的性质 V/( 米 / 秒 ) t/ 秒 0 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米 / 秒）与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示： (1) 请写出 v 与 t 的关系式； (2) 下滑 3 秒时物体的速度是多少 （２，５） 情景引入 (1) 请写出 v 与 t 的关系式； 设 Ｖ ＝ kt ; ∵(2,5) 在图象上 ∴由５＝ 2 k 得， k =2.5 ∴ V =2.5 t (2) 下滑 3 秒时物体的速度是多少？ 将 3s 代入 V=2.5t ，得 V=7.5 解答 确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 一个 两个 想一想 确定一次函数的表达式呢？ 两点确定一条直线， 正比例函数过原点 在弹性限度内，弹簧的长度 y （厘米）是所挂物体质量 x （千克）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长 14.5 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16 厘米。请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度。 探究 1 解：设 y = kx + b , 根据题意，得 14.5= b ① 16=3 k + b ② 将 b =14.5 代入 ② ，得 k =0.5 所以在弹性限度内， y =0.5 x +14.5 当 x =4 时， y =0.5×4+14.5=16.5 即物体的质量为 4 千克时，弹簧长度为 16.5 厘米 . 解答 这种求函数解析式的方法叫做待定系数法 总结 怎样求一次函数的表达式？ 设一次函数表达式 根据已知条件列出有关方程 解方程 把求出的 k ， b 代回表达式 １ . 设 —— 一次函数表达式 y=kx+b 或者 y=kx ； ２ . 代 —— 将点的坐标代入 y=kx+b 中 , 列出关于 K 、 b 的方程 ３ . 解 —— 解方程求出 K 、 b 值 ； ４ . 定 —— 把求出的 k 、 b 值代回到表达式中即可 . 求一次函数的表达式的详细步骤 归纳 1. 如图，直线 l 是一次函数 y=kx+b 的图象，求它的表达式． 解：设正比例函数 y=kx 将点（ -1,3 ）代入其中 3=-1×k ，得 k=-3 ∴ y=-3x 练习 1 解：设直线 l 为 y=kx+b, 　　∵ l 与直线 y=-2x 平行，∴ k= -2 又直线过点（０，２）， ∴２＝－２ ×0+b, ∴b=2 ∴ 原直线为 y=-2x+2 2. 已知直线 l 与直线 y=-2x 平行，且与 y 轴交于点 (0,2) ，求直线 l 的解析式。 由于持续高温和连日无雨 , 某水库的蓄水量随着时间的增加而减少 . 干旱持续时间 t( 天 ) 与蓄水量 V( 万米 ) 的关系如图所示 探究 2 （ 1 ）水库干旱前的蓄水量是多少？ · 1200 探究 2 (2) 干旱持续 10 天，蓄水 量为多少？连续干旱 23 天呢？ · · 分析：干旱 10 天求蓄水量 就是已知自变量 t =10 求对应的 因变量的值 ------------ 数 体现在图象上就是找一个 点， 使点的横坐标是 10 ，对应在图象上找到此点纵坐标的值（ 10 ， V ） -------- 形 连续干旱 10 天，蓄水量为 1000 连续干旱 23 天，蓄水量为 750 (23,750) (10,1000) 探究 2 （ 4 ）按照这个规律 , 预计持续干旱多少天水库将干涸 ? · 探究 2 (40,400) · (60,0) （ 3 ）蓄水量小于 400 时 , 将发生严重的干旱 警报 . 干旱多少天后将发出干旱警报 ? 40 天 60 天 t/ 天 V / 万米 3 由于高温和连日无雨，某水库蓄水量 V （万米 3 ) 和干旱时间 t （天）的关系如图： 还能用其它方法解答本题吗？ （ 1 ）设 v = kt +1200 （ 2 ）将 t =60 ， V =0 代入 V = kt +1200 中求的 k = -20 ， V = -20 t+1200 （ 3 ）再代入各组 t 或 V 的值对应的求 V 与 t 的值 探究 2 当得知周边地区的干旱情况后，育才学校的小明意识到节约用水的重要性，当天在班上倡议节约用水，得到全班乃至全校师生的积极响应。 练习 2 从宣传活动开始，假设每天参加该活动的家庭数增加数量相同，最后全校师生都参加了活动，并且参加该活动的家庭数 S （ 户）与宣传时间 t （天）的函数关系如图所示。 200 1000 20 t （天） S （户） · 0 · · · （ 2 ）全校师生共有多少户？该活动持续了几天？ （ 1 ）活动开始当天，全校有 多少户家庭参加了活动？ 根据图象回答下列问题： （ 3 ）你知道平均每天增加了多少户？ (200 户 ) (1000 户， 20 天 ) (40 户 ) 200 1000 20 t （天） S （户） · 0 （ 4 ）活动第几天时，参加该活动的家庭数达到 800 户？ （ 5 ）写出参加活动的家庭数 S 与活动时间 t 之间的函数关系式。 ( 第 15 天 ) S=40t+200 200 1000 20 t （天） S （户） · 0 根据图象回答问题：（ 1 ）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ （ 3 ）摩托车的剩余油量小于 1 升时，摩托车将自动报警 . 行驶多少千米后，摩托车将自动报警？ （ 2 ）摩托车每行驶 100 千米消耗多少升汽油？ 探究 3 解：观察图象，得 (1) 当 y ＝ 0 时， x ＝ 500, 因此一箱汽油可供摩托车行驶 500 千米 . （ 2 ） x 从 0 增加到 100 时， y 从 10 减少到 8 ，减少了 2 ， 因此摩托车每行驶 100 千米 2 消耗升汽油 . （ 3 ）当 y ＝ 1 时， x ＝ 450 ，因此行驶了 450 千米后，摩托车将自动报警 . 解答 1 ．如图， (1) 当 y =0 时， x =________ 　 ; (2) 直线对应的函数表达式是 ______________ ． · -2 y=0.5x+1 做一做 法一 : 图象观察法 法二 : 关系式计算法 解答实际情景函数图象信息问题的方法： 总结 1 ： 理解横纵坐标分别表示的的实际意义 2 ：分析已知（看已知的是自变量还是因变量），通过做 x 轴或 y 轴的 垂线， 在图象上找到 对应 的 点 ，由点的横坐标或者纵 坐标 的值读出要求的值 3 、 紧扣 实际意义 去解释 点的坐标。 解答实际情景函数图象意义的关键 总结 一元一次方程 0.5 x +1=0 与一次函数 y =0.5 x +1 有什么联系？ 从“数”的方面看 , 当一次函数 y =0.5 x +1 的函数值为 0 时 , 相应的自变量的值即为方程 0.5 x +1=0 的解； 从“行”的方面看 , 函数 y =0.5 x +1 与 x 轴交点的横坐标即为方程 0.5 x +1=0 的解 . 议一议 1. 函数 y = kx 的图象经过点 P (3 ， -1) ，则 k 的值为 ( 　 ) A ． 3 B ． -3 C ． D ． - D 达标测试 2. 若一次函数 y=2x+b 的图象经过Ａ (-1,1) 则 b = ____ , 该函数图象经过点Ｂ (1 ， __ ）和点Ｃ（ ____ ，０）。 3 5 3. 如图，直线 l 是一次函数 y=kx+b 的图象，填空 : 　 (1)b=______,k=______; (2) 当 x=30 时， y=______; (3) 当 y=30 时， x=______ 。 2 -42 -18 4. 下图 l 1 l 2 分别龟兔赛跑中路程与时间之间函数图象 s / 米 （ 1 ）这一次是 　 米赛跑。 1 2 3 4 5 O 100 20 120 40 60 80 t / 分 6 8 7 （ 2 ）表示兔子的图象是 。 -1 12 9 10 11 -3 -2 l 1 l 2 100 L2 -4 s / 米 （ 3 ）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 　 米 。 l 1 l 2 1 2 3 4 5 O 100 20 120 40 60 80 t / 分 6 8 7 （ 4 ）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米。 （ 5 ）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟。 -1 12 9 10 11 -3 -2 40 4 -4 40 某蔬菜基地要把一批新鲜蔬菜运往外地，有两种运输方式选择，主要参考数据如下： 运输方式 运输速度（ km/h) 装卸费用（元） 途中综合费用 （元 / 时） 汽车 60 200 270 火车 100 410 240 （ 1 ）请分别写出汽车、火车运输的总费用 y 1 （元）、 y 2 ( 元）与运输路程 x （ km) 之间的函数关系； （ 2 ）你能说出用哪种运输队方式好吗？ 应用提高 解 ： （ 1 ） y 1 =200 ＋ 4.5 x y 2 =410 ＋ 2.4 x y 1 =200 ＋ 4.5 x y 2 =410 ＋ 2.4x y 1 =200 ＋ 4.5 x （汽车） y 2 =410 ＋ 2.4 x （火车） （ 2 ）当 y 1 = y 2 时， x =100 . 从函数图象看，当 x =100 时，两个函数的图象相交于一点，此时两个自变量相同，函数值相同 . 我认为：当运输路程为 100km 时，运输方式可选择汽车或火车；当运输路程小于 100km 时，运输方式可选择汽车；当运输路程大于 100km 时，运输方式可选择火车； （ 100 ， 650 ） 700 o y x 100 80 60 40 20 600 500 400 300 200 100 体验收获 今天我们学习了哪些知识？ 1 、什么是待定系数法。 2 、 解一次函数应用题的步骤。 布置作业 教材 93 页习题第 3 、 4 题。