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第 51 节 解答题难题突破二 （圆的综合题） 第十一章 解答题 1 ．（ 2016 广东， 24 ， 9 分）如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆， BC 是⊙ O 的直径，∠ ABC=30° ，过点 B 作⊙ O 的切线 BD ，与 CA 的延长线交于点 D ，与半径 AO 的延长线交于点 E ，过点 A 作⊙ O 的切线 AF ，与直径 BC 的延长线交于点 F ． （ 1 ）求证：△ ACF ∽△ DAE ； （ 2 ）若 S △ AOC = ，求 DE 的长； （ 3 ）连接 EF ，求证： EF 是⊙ O 的切线． 广东考点 【 分析 】 （ 1 ）根据圆周角定理得到 ∠ BAC=90° ，根据三角形的内角和得到 ∠ ACB=60° 根据切线的性质得到 ∠ OAF=90° ， ∠ DBC=90° ，于是得到 ∠ D= ∠ AFC=30° 由相似三角形的判定定理即可得到结论； （ 2 ）根据 S △ AOC = ，得到 S △ ACF = ，通过 △ ACF ∽△ DAE ，求得 S △ DAE = ，过 A 作 AH ⊥ DE 于 H ，解直角三角形得到 AH= DH= DE ，由三角形的面积公式列方程即可得到结论； （ 3 ）根据全等三角形的性质得到 OE=OF ，根据等腰三角形的性质得到∠ OFG= （ 180°﹣ ∠ EOF ） =30° ，于是得到∠ AFO= ∠ GFO ，过 O 作 OG ⊥ EF 于 G ，根据全等三角形的性质得到 OG=OA ，即可得到结论． 【 解答 】 （ 1 ）证明：∵ BC 是⊙ O 的直径，∴∠ BAC=90° ， ∵∠ABC=30° ， ∴∠ACB=60°.∵OA=OC ， ∴∠AOC=60°.∵AF 是⊙ O 的切线，∴∠ OAF=90° ， ∴∠AFC=30°. ∵DE 是⊙ O 的切线，∴∠ DBC=90° ， ∴∠D=∠AFC=30°. ∵∠DAE=ACF=120° ， ∴△ACF∽△DAE. （ 2 ） ∵∠ACO=∠AFC+∠CAF=30°+∠CAF=60° ， ∴∠CAF=30° ， ∴∠CAF=∠AFC ， ∴AC=CF ，∴ OC=CF. ∵S △AOC = ， ∴S △ACF = . ∵∠ABC=∠AFC=30° ， ∴AB=AF. ∵AB= BD ， ∴AF= BD ， ∴∠BAE=∠BEA=30° ， ∴AB=BE=AF ， ∴ ∵△ACF∽△DAE ， ∴ 过 A 作 AH⊥DE 于 H ， ∴AH= DH= DE ， （ 3 ） ∵∠EOF=∠AOB=120° ， 在△ AOF 与△ BOE 中， ∴△ AOF≌△BEO ， ∴OE=OF ， ∴∠OFG= （ 180°﹣∠EOF ） =30° ， ∴∠AFO=∠GFO. 过 O 作 OG⊥EF 于 G ， ∴∠OAF=∠OGF=90° ， 在△ AOF 与△ OGF 中，， ∴△ AOF≌△GOF ， ∴OG=OA ， ∴EF 是⊙ O 的切线 . 2. （ 2015 广东， 24 ， 9 分） ⊙O 是△ ABC 的外接圆， AB 是直径，过 的中点 P 作⊙ O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D ，连接 AG 、 CP 、 PB ．（ 1 ）如图 1 ，若 D 是线段 OP 的中点，求∠ BAC 的度数；（ 2 ）如图 2 ，在 DG 上取一点 K ，使 DK=DP ，连接 CK ，求证：四边形 AGKC 是平行四边形；（ 3 ）如图 3 ，取 CP 的中点 E ，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H ，连接 PH ，求证： PH⊥AB ． 【 考点 】 圆的综合题 【 专题 】 压轴题 【 分析 】 （ 1 ）由垂径定理得出 PG⊥BC ， CD=BD ，再由三角函数求出∠ BOD=60° ，证出 AC∥PG ，得出同位角相等即可；（ 2 ）先由 SAS 证明△ PDB≌△CDK ，得出 CK=BP ，∠ OPB=∠CKD ，证出 AG=CK ，再证明 AG∥CK ，即可得出结论；（ 3 ）先证出 DH∥AG ，得出∠ OAG=∠OHD ，再证 OD=OH ，由 SAS 证明△ OBD≌△HOP ，得出∠ OHP=∠ODB=90° ，即可得出结论． 【 解答 】 （ 1 ）解：∵点 P 为 的中点， AB 为⊙ O 直径，∴ BP=PC ， PG⊥BC ， CD=BD ，∴∠ ODB=90° ，∵ D 为 OP 的中点，∴ OD= OP= OB ，∴ cos∠BOD= ∴∠ BOD=60° ，∵ AB 为⊙ O 直径，∴∠ ACB=90° ，∴∠ ACB=∠ODB ，∴ AC∥PG ，∴∠ BAC=∠BOD=60° （ 2 ）证明：由（ 1 ）知， CD=BD ， 在△ PDB 和△ CDK 中， ∴△ PDB≌△CDK （ SAS ）， ∴ CK=BP ，∠ OPB=∠CKD ，∵∠ AOG=∠BOP ，∴ AG=BP ，∴ AG=CK ，∵ OP=OB ，∴∠ OPB=∠OBP ，又∵∠ G=∠OBP ，∴ AG∥CK ，∴四边形 AGCK 是平行四边形； （ 3 ）证明：∵ CE=PE ， CD=BD ， ∴ DE∥PB ，即 DH∥PB∵∠G=∠OPB ，∴ PB∥AG ，∴ DH∥AG ，∴∠ OAG=∠OHD ，∵ OA=OG ，∴∠ OAG=∠G ，∴∠ ODH=∠OHD ，∴ OD=OH ，在△ OBD 和△ HOP 中，∴△ OBD≌△HOP （ SAS ），∴∠ OHP=∠ODB=90° ，∴ PH⊥AB ． 【 点评 】 本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、圆周角定理、平行线的判定、三角函数、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（ 3 ）中，需要通过证明平行线得出角相等，再进一步证明三角形全等才能得出结论 . 3. （ 2014 广东， 24 ， 9 分）如图，⊙ O 是△ ABC 的外接圆， AC 是直径，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D ，延长 DO 交⊙ O 于点 P ，过点 P 作 PE⊥AC 于点 E ，作射线 DE 交 BC 的延长线于 F 点，连接 PF ．（ 1 ）若∠ POC=60° ， AC=12 ， 求劣弧 PC 的长；（结果保留 π ）（ 2 ）求证： OD=OE ；（ 3 ）求证： PF 是⊙ O 的切线． 【 考点 】 切线的判定 ； 弧长的计算 ． 【 专题 】 几何综合题；压轴题． 【 分析 】 （ 1 ）根据弧长计算公式 l= 进行计算即可；（ 2 ）证明△ POE≌△ADO 可得 DO=EO ；（ 3 ）连接 AP ， PC ，证出 PC 为 EF 的中垂线，再利用△ CEP∽△CAP 找出角的关系求解． 【 解答 】 （ 1 ）解：∵ AC=12 ，∴ CO=6 ，∴ 答：劣弧 PC 的长为： 2π ．（ 2 ）证明：∵ PE⊥AC ， OD⊥AB ，∠ PEA=90° ，∠ ADO=90° 在△ ADO 和△ PEO 中， ∴△ POE≌△AOD （ AAS ），∴ OD=EO ； （ 3 ）证明：如图，连接 AP ， PC ，∵ OA=OP ， ∴∠ OAP=∠OPA ，由（ 2 ）得 OD=EO ， ∴∠ ODE=∠OED ，又∵∠ AOP=∠EOD ，∴∠ OPA=∠ODE ，∴ AP∥DF ，∵ AC 是直径，∴∠ APC=90° ，∴∠ PQE=90° ， ∴PC⊥EF ，又∵ DP∥BF ， ∴∠ ODE=∠EFC ，∵∠ OED=∠CEF ， ∴∠ CEF=∠EFC ，∴ CE=CF ，∴ PC 为 EF 的中垂线，∴∠ EPQ=∠QPF ，∵△ CEP∽△CAP ， ∴∠EPQ=∠EAP ，∴∠ QPF=∠EAP ， ∴∠ QPF=∠OPA ，∵∠ OPA+∠OPC=90° ，∴∠ QPF+∠OPC=90° ，∴ OP⊥PF ，∴ PF 是⊙ O 的切线． 【 点评 】 本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系． 4. （ 2013 广东， 24 ， 9 分）如图，⊙ O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ ABC=90° ，弦 BD=BA ， AB=12 ， BC=5 ， BE⊥DC 交 DC 的延长线于点 E ．（ 1 ）求证：∠ BCA=∠BAD ；（ 2 ）求 DE 的长；（ 3 ）求证： BE 是⊙ O 的切线． 【 考点 】 切线的判定 ； 圆周角定理 ； 相似三角形的判定与性质 ． 【 专题 】 压轴题． 【 分析 】 （ 1 ）根据 BD=BA 得出∠ BDA=∠BAD ，再由∠ BCA=∠BDA 即可得出结论；（ 2 ）判断△ BED∽△CBA ，利用对应边成比例的性质可求 DE 的长．（ 3 ）连接 OB ， OD ，证明△ ABO≌△DBO ，推出 OB∥DE ，继而判断 BE⊥OB ，可得出结论． 【 解答 】 （ 1 ）证明：∵ BD=BA ，∴∠ BDA=∠BAD ，∵∠ BCA=∠BDA （圆周角定理），∴∠ BCA=∠BAD ．（ 2 ）解：∵∠ BDE=∠CAB （圆周角定理）且∠ BED=∠CBA=90° ，∴△ BED∽△CBA ， （ 3 ）证明：连结 OB ， OD ， 在△ ABO 和△ DBO 中， ∴△ ABO≌△DBO （ SSS ），∴∠ DBO=∠ABO ，∵∠ ABO=∠OAB=∠BDC ，∴∠ DBO=∠BDC ，∴ OB∥ED ，∵ BE⊥ED ，∴ EB⊥BO ，∴ BE 是⊙ O 的切线． 【 点评 】 本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容． 1 ．（ 2016 来宾）如图，在△ ABC 中，∠ C=90° ，∠ BAC 的平分线交 BC 于点 D ， DE ⊥ AD ，交 AB 于点 E ， AE 为⊙ O 的直径 （ 1 ）判断 BC 与⊙ O 的位置关系，并证明你的结论； （ 2 ）求证：△ ABD ∽△ DBE ； （ 3 ）若 cosB= ， AE=4 ，求 CD ． 【 分析 】 （ 1 ）结论： BC 与 ⊙ O 相 切，连接 OD 只要证明 OD ∥ AC 即可． （ 2 ）欲证明 △ ABD ∽△ DBE ，只要证明 ∠ BDE= ∠ DAB 即可． 强化训练 （ 3 ）在 Rt △ ODB 中， OB=3k ，利用勾股定理列出方程求出 k ，再利用 DO ∥ AC ，得 列出方程即可解决问题． 【 解答 】 （ 1 ）结论： BC 与 ⊙ O 相切． 证明：如图 ， 连接 OD ． ∵ OA=OD ， ∴∠ OAD= ∠ ODA ， ∵ AD 平分 ∠ CAB ， ∴∠ CAD= ∠ DAB ， ∴∠ CAD= ∠ ADO ， ∴ AC ∥ OD ， ∵ AC ⊥ BC ， ∴ OD ⊥ BC ， ∴ BC 是 ⊙ O 的切线 . （ 2 ） ∵BC 是⊙ O 切线， ∴∠ ODB=90° ， ∴∠BDE+∠ODE=90° ， ∵AE 是直径，∴∠ ADE=90° ， ∴∠DAE+∠AED=90° ， ∵OD=OE ， ∴∠ODE=∠OED ， ∴∠BDE=∠DAB ， ∵∠B=∠B ， ∴△ABD∽△DBE ． （ 3 ）在 Rt△ODB 中， 设 BD=2 k ， OB=3k ， ∵OD 2 +BD 2 =OB 2 ， ∴4+8k 2 =9k 2 ， ∴k=2 ， ∴BO=6 ， BD=4 ， ∵DO∥AC ， 2 ．（ 2016 深圳）如图，已知⊙ O 的半径为 2 ， AB 为直径， CD 为弦． AB 与 CD 交于点 M ，将 沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P ，使 AP=OA ，连接 PC. （ 1 ）求 CD 的长； （ 2 ）求证： PC 是⊙ O 的切线； （ 3 ）点 G 为 的中点，在 PC 延 长线上有一动点 Q ，连接 QG 交 AB 于点 E ，交 于点 F （ F 与 B ， C 不重合）．问 GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 【 分析 】 （ 1 ）连接 OC ，根据翻折的性质求出 OM ， CD ⊥ OA ，再利用勾股定理列式求解即可； （ 2 ）利用勾股定理列式求出 PC ，然后利用勾股定理逆定理求出 ∠ PCO=90° ，再根据圆的切线的定义证明即可； （ 3 ）连接 GA 、 AF 、 GB ，根据等弧所对的圆周角相等可得 ∠ BAG= ∠ AFG ，然后根据两组角对应相等两三角相似求出 △ AGE 和 △ FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得 ，从而得到 GE•GF=AG 2 ，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． （ 3 ） GE•GF 是定值，证明如下： 如图，连接 GA ， AF ， GB ， ∵ 点 G 为 的中点，∴ ∴∠ BAG=∠AFG ， 又∵∠ AGE=∠FGA ， ∴△AGE∽△FGA ， ∴ ∴GE•GF=AG 2 ， ∵AB 为直径， AB=4 ， ∴∠BAG=∠ABG=45° ， ∴AG=2 ， ∴GE•GF=8 ． 3 ．（ 2016 广州）如图，点 C 为△ ABD 的外接圆上的一动点（点 C 不在 上，且不与点 B ， D 重合），∠ ACB= ∠ ABD=45° （ 1 ）求证： BD 是该外接圆的直径； （ 2 ）连接 CD ，求证： AC=BC+CD ； （ 3 ）若△ ABC 关于直线 AB 的对称图形为△ ABM ，连接 DM ，试探究 DM 2 ， AM 2 ， BM 2 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【 分析 】 （ 1 ）要证明 BD 是该外接圆的直径，只需要证明 ∠ BAD 是直角即可，又因为 ∠ ABD=45° ，所以需要证明 ∠ ADB=45° ； （ 2 ）在 CD 延长线上截取 DE=BC ，连接 EA ，只需要证明 △ EAF 是等腰直角三角形即可得出结论； （ 3 ）过点 M 作 MF ⊥ MB 于点 M ，过点 A 作 AF ⊥ MA 于点 A ， MF 与 AF 交于点 F ，证明 △ AMF 是等腰三角形后，可得出 AM=AF ， MF= AM ，然后再证明 △ ABF ≌△ ADM 可得出 BF=DM ，最后根据勾股定理即可得出 DM 2 ， AM 2 ， BM 2 三者之间的数量关系． 【 解答 】 解：（ 1 ） ∵ ， ∴∠ ACB= ∠ ADB=45° ， ∵∠ ABD=45° ， ∴∠ BAD=90° ， ∴ BD 是 △ ABD 外接圆的直径 . （ 2 ） 如图， 在 CD 的延长线上截取 DE=BC ，连接 EA ， ∵∠ ABD= ∠ ADB ， ∴ AB=AD ， ∵∠ ADE +∠ ADC=180° ， ∠ ABC +∠ ADC=180° ， ∴∠ ABC= ∠ ADE . 在 △ ABC 与 △ ADE 中， ∴△ABC≌△ADE （ SAS ）， ∴∠BAC=∠DAE ， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAE=90° ， ∵ ，∴∠ ACD=∠ABD=45° ， ∴△CAE 是等腰直角三角形， ∴ AC=CE ， ∴ AC=CD+DE=CD+BC. （ 3 ）如图，过点 M 作 MF⊥MB 于点 M ，过点 A 作 AF⊥MA 于点 A ， MF 与 AF 交于点 F ，连接 BF ， 由对称性可知∠ AMB=ACB=45° ， ∴△AMF 是等腰直角三角形，∴ AM=AF ， MF= AM. ∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB ， ∴∠FAB=∠MAD. 在△ ABF 与△ ADM 中，， ∴△ ABF≌△ADM （ SAS ）， ∴BF=DM. 在 Rt△BMF 中，∵ BM 2 +MF 2 =BF 2 ， ∴BM 2 +2AM 2 =DM 2 ． 4 ．（ 2016 哈尔滨模拟）已知 AB 为⊙ O 的直径，点 C 为 的中点， BD 为弦， CE ⊥ BD 于点 E. （ 1 ）如图 1 ，求证： CE=DE ； （ 2 ）如图 2 ，连接 OE ，求∠ OEB 的度数； （ 3 ）如图 3 ，在（ 2 ）条件下，延长 CE ，交直径 AB 于点 F ，延长 EO ，交⊙ O 于点 G ，连接 BG ， CE=2 ， EF=3 ，求△ EBG 的面积． 【 分析 】 （ 1 ）如图 1 中，连接 CD 、 OC ．只要证明 ∠ CDE= ∠ COB=45° 即可． （ 2 ）如图 2 中，连接 OD ， OC ，只要证明 △ OED ≌△ OEC ，推出 ∠ OED= ∠ CEO=135° ，即可解决问题． （ 3 ）如图 3 中，过 O 作 OM ⊥ BD 于 M ， BN ⊥ EG 于 N ，则 ∠ EMO=90° ，连接 OC ，设 EM=x ，则 BM=DM=2 + x ，由 EF ∥ OM ，得 列出方程即可解决． 【 解答 】 （ 1 ）证明：如图 1 中，连接 CD 、 OC ． ∴∠ AOC= ∠ BOC . ∵∠ AOC +∠ BOC=180° ， ∴∠ AOC= ∠ BOC=90° ， ∴∠ D=45° . ∵ CE ⊥ BD ， ∴∠ CED=90° ， ∴∠ D= ∠ DCE=45° ， ∴ CE=DE ． （ 2 ）证明：如图 2 中，连接 OD ， OC. 在△ OED 和△ OEC 中， ∴△ OED≌△OEC ， ∵∠CED=90° ， ∴∠OED=∠CEO=135° ， ∴∠OEB=45° ． （ 3 ）解：如图 3 中，过 O 作 OM⊥BD 于 M ， BN⊥EG 于 N ，则∠ EMO=90° ， 连接 OC ． ∵CE=2 ， ∴DE=2 ， 设 EM=x ，则 BM=DM=2+x ， ∴BE=2x+2 ， ∵∠OEB=45° ，则 BM=DM=2+x ， ∴OM=x ， ∵∠OEB=45° ， ∴∠CEB=∠EMO ， ∴EF∥OM ． 谢 谢 观 看 ！