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第四章　几何初步与三角形 第一节　几何的初步认识 知识点一 直线、射线与线段 1 ．直线、射线与线段的区别 直线 _____ 端点，射线有 1 个端点，线段有 ____ 个端点． 没有 2 2 ．基本事实 (1) 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，即 ______ 确定 一条直线． (2) 两点的所有连线中， ______ 最短．简单说成：两点之间， 线段最短． 两点 线段 3 ．两点的距离 连接两点间的线段的 ______ ，叫做这两点的距离． 4 ．线段的中点：点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 MB ， 点 M 叫做线段 AB 的中点．这时 AM ＝ BM ＝ AB( 或 AB ＝ 2AM ＝ 2BM) ． 长度 知识点二 角 1 ．角的定义 (1) 有公共端点的 ___________ 组成的图形叫做角．这个公共 端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． (2) 一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形也叫做角． 两条射线 2 ．角的分类 (1) 按照角的大小，角可分为锐角、 ______ 、 ______ 、平角 和周角． (2)1 周角＝ 360° ＝ 2 平角＝ 4 直角； 1° ＝ 60′ ， 1′ ＝ 60″. 直角 钝角 3 ．余角、补角 (1) 余角：如果两个角的和是 90° ，就说这两个角互为余 角．即若 α ＋ β ＝ 90° ，则 α ， β 互为余角．同角或等角 的余角 _______ . (2) 补角：如果两个角的和是 180° ，就说这两个角互为补 角．即 α ＋ β ＝ 180° ，则 α ， β 互为补角．同角或等角的 补角 _______ . 相等 相等 4 ．角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个 _______ 的角的射线，叫做这个角的平分线． 相等 知识点三 相交线 1 ．对顶角的性质：对顶角相等． 2 ．三线八角 ( 如图 ) (1) 同位角：∠ 1 与∠ 5 ，∠ 2 与∠ 6 ，∠ 4 与 ____ ，∠ 3 与 ____ ． (2) 内错角：∠ 2 与 ____ ，∠ 3 与∠ 5. (3) 同旁内角：∠ 3 与∠ 8 ，∠ 2 与 ____ ． ∠ 8 ∠ 7 ∠ 8 ∠ 5 3 ．垂直的性质 (1) 在同一平面内，过一点 __________ 一条直线与已知直线 垂直． (2) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， ________ 最短． 4 ．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长 度，叫做点到直线的距离． 有且只有 垂线段 知识点四 平行线 1 ．平行公理 (1) 经过直线外一点， __________ 一条直线与这条直线平行． (2) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互 相 ______ ． 有且只有 平行 2 ．性质与判定 (1) 同位角 _______ ⇔ 两直线平行． (2) 内错角相等⇔两直线 _______ ． (3) 同旁内角 _______ ⇔ 两直线平行． 相等 平行 互补 知识点五 定义、命题与定理 1 ．命题 (1) 命题：判断一件事情的语句，叫做命题，命题由 ______ 和 ______ 两部分组成．命题可分为真命题和假命题两类． (2) 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论 分别是另一个命题的 ______ 和 ______ ，那么这两个命题称 为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 2 ．定理：经过证明的真命题叫做定理 . 题设 结论 结论 题设 知识点六 尺规作图 1 ．尺规作图：我们把只能使用 _______ 和 __________ 的直尺 这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图． 圆规 没有刻度 2 ．常见的五种基本作图： (1) 作一条线段等于已知线段； (2) 作一个角等于已知角； (3) 作角平分线； (4) 过一点作已知直线的垂线； (5) 作线段的垂直平分线 . 考点一 有关线段和角的计算 (5 年 0 考 ) 例 1 如图，点 O 在直线 AB 上，射线 OC ， OD 在直线 AB 的同侧， ∠ AOD ＝ 40° ，∠ BOC ＝ 50° ， OM ， ON 分别平分∠ BOC 和 ∠ AOD ，则∠ MON 的度数为 ( 　　 ) A ． 135° B ． 140° C ． 152° D ． 45° 【 分析 】 根据题意可求出∠ AON 和∠ BOM 的度数，再根据 A ， O ， B 在同一直线上，得出∠ MON 的度数． 【 自主解答 】 ∵OM ， ON 分别平分∠ BOC 和∠ AOD ， ∴∠ AON ＝ ∠ AOD ＝ 20° ，∠ BOM ＝ ∠ BOC ＝ 25°. 又∵点 O 在直线 AB 上，∴∠ AOB ＝ 180° ， ∴∠ MON ＝∠ AOB －∠ AON －∠ BOM ＝ 180° － 20° － 25° ＝ 135° ，故选 A. 涉及角度或线段的计算时，经常用到角平分线、线段的中 点的性质．尤其在角的计算中，还需要注意余角、补角性 质的运用，同时，注意三角尺的角是 30° ， 45° ， 60° ， 90° 等隐含条件的应用． 1 ．将一副直角三角板如图放置，若∠ AOD ＝ 20° ，则∠ BOC 的大小为 ( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A ． 140° B ． 160° C ． 170° D ． 150° B 2 ．如图，已知线段 AB ＝ 6 ，延长线段 AB 到 C ，使 BC ＝ 2AB ，点 D 是 AC 的中点，则 BD ＝ ____ ． 3 ．已知∠ 1 的补角是 133°21′ ，则它的余角是 _________ ； 下午 14 点半，钟面上的时针与分针的夹角是 ______ 度． 3 43°21′ 105 考点二 平行线的性质与判定 (5 年 2 考 ) 　　　 例 2 (2017· 日照 ) 如图， AB∥CD ，直线 l 交 AB 于点 E ，交 CD 于点 F. 若∠ 1 ＝ 60° ，则∠ 2 等于 ( 　　 ) A ． 120° B ． 30° C ． 40° D ． 60° 【 分析 】 根据对顶角的性质和平行线的性质即可得到结论． 【 自主解答 】 ∵AB∥CD ，∠ 1 ＝ 60° ，∴∠ EFD60°. ∵∠EFD 与∠ 2 是对顶角，∴∠ 2 ＝ 60°. 故选 D. 讲： 借助辅助线解决平行问题 当图形中出现平行线的条件，而又无法直接利用平行 线的性质解决问题时，常作辅助线来构建已知条件与所求 问题间的“桥梁”．这是解决此类问题的常用方法，也是 容易出错的地方． 练：链接变式训练 4 3 ． (2016· 日照 ) 小红把一把直尺与一块三角板如图放置， 测得∠ 1 ＝ 48° ，则∠ 2 的度数为 ( ) A ． 38° B ． 42° C ． 48° D ． 52° B 4 ． (2017· 张家界 ) 如图， a∥b ， PA⊥PB ，∠ 1 ＝ 35° ，则 ∠ 2 的度数是 _____ ． 55° 考点三 命　题 (5 年 3 考 ) 例 3 (2017· 日照 ) 下列说法正确的是 ( 　　 ) A ．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等 B ．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点 C ．一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 一定有实数根 D ．将△ ABC 绕 A 点按顺时针方向旋转 60° 得△ ADE ，则△ ABC 与△ ADE 不全等 【 分析 】 根据正多边形和圆的关系、一元二次方程根的判 别式、点的坐标以及旋转变换的性质进行判断即可． 【 自主解答 】 如图，六边形 ABCDEF 为圆内接正六边形，则 ∠ AOB ＝ 360°÷6 ＝ 60° ，又 OA ＝ OB ，∴△ AOB 为等边三角 形，∴ AB ＝ OA ，故 A 正确； 不同的坐标一定表示不同的点， B 错误；当 b 2 － 4ac