第
3
课时 导数与函数的综合应用
考点一 用导数研究生活中的优化问题
x
(3
，
4)
4
(4
，
6)
f
′(
x
)
＋
0
－
f
(
x
)
单调递增
极大值
42
单调递减
由上表可得，
x
＝
4
时，函数
f
(
x
)
取得极大值，也是最大值，
所以，当
x
＝
4
时，函数
f
(
x
)
取得最大值，且最大值等于
42.
故当销售价格为
4
元
/
千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大
.
规律方法
(1)
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
①
设自变量、因变量，建立函数关系式
y
＝
f
(
x
)
，并确定其定义域；
②
求函数的导数
f
′(
x
)
，解方程
f
′(
x
)
＝
0
；
③
比较函数在区间端点和
f
′(
x
)
＝
0
的点的函数值的大小，最大
(
小
)
者为最大
(
小
)
值；
④
回归实际问题作答
.
(2)
如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点
.
【训练
1
】
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池
(
不计厚度
).
设该蓄水池的底面半径为
r
米，高为
h
米，体积为
V
立方米
.
假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为
100
元
/
平方米，底面的建造成本为
160
元
/
平方米，该蓄水池的总建造成本为
12 000π
元
(π
为圆周率
).
(1)
将
V
表示成
r
的函数
V
(
r
)
，并求该函数的定义域；
(2)
讨论函数
V
(
r
)
的单调性，并确定
r
和
h
为何值时该蓄水池的体积最大
.
考点二 利用导数研究函数的零点或方程的根
【例
2
】
(2014·
全国
Ⅱ
卷
)
已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
－
3
x
2
＋
ax
＋
2
，曲线
y
＝
f
(
x
)
在点
(0
，
2)
处的切线与
x
轴交点的横坐标为－
2.
(1)
求
a
；
(2)
证明：当
k
0.
当
x
≤
0
时，
g
′(
x
)
＝
3
x
2
－
6
x
＋
1
－
k
>0
，
g
(
x
)
单调递增，
g
(
－
1)
＝
k
－
10
时，令
h
(
x
)
＝
x
3
－
3
x
2
＋
4
，则
g
(
x
)
＝
h
(
x
)
＋
(1
－
k
)
x
>
h
(
x
).
h
′(
x
)
＝
3
x
2
－
6
x
＝
3
x
(
x
－
2)
，
h
(
x
)
在
(0
，
2)
单调递减，在
(2
，＋
∞
)
单调递增，所以
g
(
x
)>
h
(
x
)
≥
h
(2)
＝
0.
所以
g
(
x
)
＝
0
在
(0
，＋
∞
)
没有实根
.
综上，
g
(
x
)
＝
0
在
R
有唯一实根，即曲线
y
＝
f
(
x
)
与直线
y
＝
kx
－
2
只有一个交点
.
规律方法
(1)
本题求解的关键是通过构造函数，把曲线与直线交点问题转化为函数零点问题来解决
.
(2)
研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用
.
【训练
2
】
(2016·
北京卷节选
)
设函数
f
(
x
)
＝
x
3
＋
ax
2
＋
bx
＋
c
.
(1)
求曲线
y
＝
f
(
x
)
在点
(0
，
f
(0))
处的切线方程；
(2)
设
a
＝
b
＝
4
，若函数
f
(
x
)
有三个不同零点，求
c
的取值范围
.
当
x
变化时，
f
(
x
)
与
f
′(
x
)
的变化情况如下：
考点三 导数在不等式中的应用
(
多维探究
)
命题角度一 不等式恒成立问题
命题角度二 证明不等式
规律方法
(1)
利用导数方法证明不等式
f
(
x
)>
g
(
x
)
在区间
D
上恒成立的基本方法是构造函数
h
(
x
)
＝
f
(
x
)
－
g
(
x
)
，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数
h
(
x
)>0.
(2)
不等式恒成立通常可以利用函数的单调性求出最值解决
.
解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论
.
[
思想方法
]
1.
用导数方法证明不等式
f
(
x
)>
g
(
x
)
时，找到函数
h
(
x
)
＝
f
(
x
)
－
g
(
x
)
的零点是解题的突破口
.
2.
在讨论方程的根的个数、研究函数图象与
x
轴
(
或某直线
)
的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极
(
最
)
值的应用
.
注意转化思想与数形结合思想的应用
.
3.
在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较
.
[
易错防范
]
1.
利用导数解决恒成立问题时，若分离参数后得到
“
a
<
f
(
x
)
恒成立
”
，要根据
f
(
x
)
的值确定
a
的范围中端点能否得到
.
2.
利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义
.
3.
如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点
.
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