16.2
二根次式的乘除
第十六章 二次根式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第
1
课时 二次根式的乘法
学习目标
1.
理解二次根式的乘法法则
.
（重点）
2.
会运用
二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性
质进行简单运算
.
（难点）
导入新课
情景引入
近年来我国探月工程取得了一个又一个的成就，无论是嫦娥探测器还是玉兔月球车，既体现了中华民族传统文化的意味，又契合了我国和平利用太空的意愿，下面一起来观看嫦娥三号发射模拟视频：
问题
1
运用运载火箭发射航天行器时，火箭必须达到一定的速度（第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度
v
与地球半径
R
之间存在如下关系：
v
1
2
=gR
，其中
g
是重力加速度
.
请用
含
g
，
R
的
代数式表示出第一宇宙速度
v
1
.
第一宇宙速度
v
1
可以表示为
.
问题
2
飞行器脱离地心引力，进入围绕太阳运行的轨道所需要的速度称为第二宇宙速度
.
第二宇宙速度为
v
2
=
v
1
，请结合问题
1
用含
g
，
R
的
代数式表示出第二宇宙速度
v
2
.
第二宇宙速度
v
2
可以表示为
.
思考
若
已知地球半径
R
≈
6371km
及
重力加速度
g
≈
10
m/s
2
，要求第二宇宙速度，本质是把两个二次根式相乘，该怎么乘呢？
(1) ___
×
___=____;
=_________;
讲授新课
二次根式的乘法
一
计算下列各式
:
(2) ___
×
___=____;
(3) ___
×
___=____;
=_________;
=_________.
2
3
6
4
5
20
5
6
30
观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
(2)
(3)
思考
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
猜测：
你能证明这个猜测吗？
求证：
证明：根据积的乘方法则，有
∴
就是
ab
算术平方根
.
又
∵
表示
ab
算术平方根，
∴
.
证一证
一般地，对于二次根式的乘法是
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
.
二次根式的乘法法则
:
二次根式相乘，
________
不变，
________
相乘
.
根指数
被开方数
归纳总结
注意：
a
,
b
都必须是非负数
.
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
典例精析
例
1
计算
:
解
:
(3)
只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即
.
归纳
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
例
2
计算
:
解
:
当二次根式根号外的因数不为
1
时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即
.
归纳
问题
你还记得单项式乘单项式法则吗？
试回顾如何计算
3
a
2
·2
a
3
=
.
6
a
5
提示：可类比上面的计算哦
二次根式的乘法法则的推广：
归纳总结
多个二次根式相乘时此法则也适用，即
当二次根号外有因数
(
式
)
时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数
(
式
)
的积作为根号外的因数
(
式
)
，被开方数的积作为被开方数，即
例
3
比较大小
(
一题多解
):
解：
(1)
方法一：
∵
， ，
又
∵20
＜
27
，
∴
，即
.
方法二：
∵
，
，
又
∵20
＜
27
，
∴
，即
.
解：
(2)∵
，
，
又
∵52
＜
54
，
∴
，
∴ ,
即
比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数后，再比较被开方数的大小
被开方数大的，其算术平方根也大
.
也可以采用平方法
.
归纳
两个负数比较大小，绝对值大的反而小
A. B.
C. D.
1.
计算 的结果是
( )
A. B.4 C. D.2
B
2.
下面计算结果正确的是
( )
D
3.
计算：
____.
30
练一练
积的算术平方根的性质
二
反过来：
（
a≥
0
，
b
≥0
）
（
a≥
0
，
b
≥0
）
一般的：
这个性质在有的地方称之为“
积的算术平方根的性质
”
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简
.
语言表述：
积的算术平方根，等于积中
各因式
的算术平方根的
积
.
解：
（
1
）
；
例
4
化简
：
（
1
） ；（
2
） ．
（
2
）
(2)
中
4
a
2
b
3
含有像
4
，
a
2
，
b
2
，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外
.
（
1
） ； （
2
） ．
【变式题】
化简
：
解：（
1
）
（
2
）
当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式，此时运用乘法公式可以简化运算
.
归纳
例
5
计算：
（
1
） ；（
2
） ； （
3
） ．
解：
（
1
）
（
2
）
（
3
）
3.
如果因式中有平方式
(
或平方数
)
，应用关系式
a
2
=
把这个因式
(
或因数
)
开出来，将二次根
式化简
.
1.
把被开方数分解因式
(
或因数
)
；
2.
把各因式
(
或因数
)
积的算术平方根化为每个因
式
(
或因数
)
的算术平方根的积；
化简二次根式的步骤：
归纳总结
1.
计算
：
解：
练一练
易错提醒： 中，
a
,
b
必须是非负数
.
2.
下面是意大利艺术家列奥纳多
·
达
·
芬奇所创作世界名画，若长为 ，宽为 ，求出它的面积
.
解：它的面积为
当堂练习
1.
若 ，则 （ ）
A．
x
≥6 B．
x
≥0
C．0≤
x
≤6 D．
x
为一切实数
A
2.
下列运算正确的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
D
4.
比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”
或“
=
”）：
＞
＜
3.
计算：
5.
计算
：
6.
设长方形的面积为S，相邻两边分别为
a
,
b
.
(1)已知 , ，求
S
；
解：
S
=
ab
=
=
=
=
（2）已知 , ，求
S
.
解：
S
=
ab
=
=
= =240.
7.
已知 试着用
a
,
b
表示
.
解：
能力提升：
课堂小结
二次根式乘法
法则
性质
拓展法则
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