第三单元 函数及其图像
第
11
课时 平面直角坐标系与函数的概念
知识体系图
直角坐标系与函数概念的关系
平面直角坐标系
函数
概念
函数值
表示方法：图像法、列表法、解析法
坐标（有序实数对）：（
x
，
y
）
点的坐标特征
点到坐标轴的距离
点的对称
应用
用坐标表示平移
用坐标表示位置
要点梳理
3.1.1
平面直角坐标系
1.
定义：
在平面内具有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系，简称坐标系．建立了直角坐标系的平面叫坐标平面，
x
轴与
y
轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．
x
轴、
y
轴上的点不属于任何象限
.
坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的
.
2.
各象限内点的特征：
（
1
）点
P
（
x
，
y
）在第一象限
x
＞
0
，
y
＞
0.
（
2
）点
P
（
x
，
y
）在第二象限
x
＜
0
，
y
＞
0.
（
3
）点
P
（
x
，
y
）在第三象限
x
＜
0
，
y
＜
0.
（
4
）点
P
（
x
，
y
）在第四象限
x
＞
0
，
y
＜
0.
要点梳理
要点梳理
3.
坐标轴上点的坐标的特征
（
1
）点
P
（
x
，
y
）在
x
轴上
y
=0
，
x
为任意实数
.
（
2
）点
P
（
x
，
y
）在
y
轴上
x
=0
，
y
为任意实数
.
（
3
）
点
P
（
x
，
y
）既在
x
轴上，又在
y
轴上
x
、
y
同时
为零，即点
P
的坐标为（
0,0
），即原点
.
3.1.2
平面直角坐标系内点的坐标特征
1.
平行于坐标轴的直线上点的特征
（
1
）平行于
x
轴（或垂直于
y
轴）的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数
.
（
2
）平行于
y
轴（或垂直于
x
轴）的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数
.
2.
各象限角平分线的点的坐标特征
.
（
1
）第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等
.
（
2
）第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数
.
要点梳理
3.1.3
点与坐标轴的距离
1.
点
P
（
a
，
b
）到
x
轴的距离等于点
P
的纵坐标的绝对值，即
.
2.
点
P
（
a
，
b
）到
y
轴的距离等于点
P
的横坐标的绝对值，即
.
要点梳理
3.1.4
平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标
1.
用坐标表示平移
（
1
）用坐标表示平移
①点的平移：
点
(
x
，
y
)
左移
a
个单位长度：
(
x
－
a
，
y
)
；
点
(
x
，
y
)
右移
a
个单位长度：
(
x
＋
a
，
y
)
；
点
(
x
，
y
)
上移
a
个单位长度：
(
x
，
y
＋
a
)
；
点
(
x
，
y
)
下移
a
个单位长度：
(
x
，
y
－
a
)
．
要点梳理
可用口诀记忆：正向右负向左，正向上负向下．
②图形的平移：
对于一个图形平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化，反过来，从图形上的点的坐标的某种变化也可以看出对这个图形进行了怎样的平移
.
要点梳理
2.
对称点的坐标的特征
(1)
坐标平面内，点
P
(
x
，
y
)
关于
x
轴
(
横轴
)
的对称点
P
1
的坐标为（
x
，
-
y
）；
(2)
坐标平面内，点
P
(
x
，
y
)
关于
y
轴
(
纵轴
)
的对称点
P
2
的坐标为（
-
x
，
y
）；
(3)
坐标平面内，点
P
(
x
，
y
)
关于原点的对称点
P
3
的坐标为（
-
x
，
-
y
）．
以上规律可归纳为：谁对称谁不变，另一个变号，关于原点对称，横变纵也变
.
要点梳理
3.1.5
函数的有关概念
1.
定义：
一般地，设在一个变化过程中有两个变量
x
与
y
，如果对于
x
的每一个确定的值，
y
都有唯一确定的值与它对应，那么就说
x
是自变量，
y
是
x
的函数．
2.
函数自变量的取值范围：
由解析式给出的函数，自变量取值范围应使解析式有意义
.
（
1
）整式函数的自变量取值范围是全体实数
.
（
2
）分式函数的自变量取值范围是分母不为
0.
（
3
）二次根式函数的自变量取值范围是被开方数为非负数
.
（
4
）对于实际意义的函数，自变量的取值范围还应使实际问题有意义
.
要点梳理
3.
函数的表示方法：解析法、列表法、图象法
.
4.
函数的图象：
一般地，对于一个函数，如果把自变量
x
与函数
y
的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，用光滑曲线连接这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．
5.
画函数的图像
(1)
描点法画函数图象的步骤：列表、描点、连线．
(2)
画函数图象时应注意该函数的自变量的取值范围．
要点梳理
深化理解函数
1
．
正确理解
“
唯一
”
函数概念中，“对于
x
的每一个值，
y
都有唯一确定的值与它对应”这句话，说明了两个变量之间的对应关系，对于
x
在取值范围内每取一个值，都有且只有一个
y
值与之对应，否则
y
就不是
x
的函数．对于“唯一性”可以从以下两方面理解：
①
从函数关系方面理解；
②
从图象方面理解．
学法指导
2
．
如何分析函数的图象
判断符合实际问题的函数图象时，需遵循以下几点：
①
找起点：结合题干中所给自变量的取值范围，对应到图象中找相对应的点；
②
找转折点：图象在转折点处发生变化；
③
找终点：图象在终点处结束；
④
判断图象趋势：结合起点、转折点、终点判断出函数图象的运动变化趋势；
⑤
看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量为
0.
学法指导
3
．如何判断与函数图象有关结论的正误
分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：
①
分段函数要分段讨论；
②
转折点：判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；
③
平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出运动过程，从而判断结论的正误．
学法指导
【例
1
】（
2016
年临夏州）
已知点
P
（
0
，
m
）在
y
轴负半轴上，则点
M
（
-
m
，
-
m
+1
）在 （
A
）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
【解析】
此题考查了平面直角坐标系坐标轴上的点的特征，不难看出
m
＜
0.
∴-
m
与
-
m
+1
都大于
0
，所以点
M
在第一象限，故选
A.
经典考题
【例
2
】
在直角坐标系中，点 到原点的距离为 （
D
）
A.-8 B.8 C. D.
【解析】
本题考查了点与坐标轴的距离，结合解直角三角形，容易得到正确答案，选择
D
选项
.
经典考题
【例
3
】（
2016
年滨州）
如图，正五边形
ABCDE
放入某平面直角坐标系后，若顶点
A,B,C,D
的坐标分别为
(0,
a
)
，（
-3,2
）
,
（
b
，
m
），（
c
，
m
），则点
E
的坐标是 （
C
）
A.
（
2
，
-3
）
B.
（
2,3
）
C.
（
3,2
）
D.
（
3
，
-2
）
【解析】
由题意可知点
A
在
y
轴上，线段
CD
垂直与
y
轴，五
边形为正五边形，所以该五边形关于
y
轴对称，
∴E
点与
B
点关于
y
轴对称，根据平面直角坐标系中对称点的坐标不难
得出
E
坐标为
(3,2).
故，选择
C.
经典考题
【例
4
】（
2016
年扬州）
函数 中，自变量
x
的取值范围是 （
B
）
A.
x
＞
1 B.
x
≥1 C.
x
＜
1 D.
x
≤1
【解析】
此题考查了自变量的取值范围，二次根式函数的自变量的取值范围是被开方数为非负数，故得到
x
≥1
，故选择
B.
经典考题
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