冀教版九年级数学下册《29.4切线长定理》课件.pptx

29.4 切线长定理* 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第二十九章 直线与圆的位置关系 1. 掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明 . （重点） 2. 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念 . 3. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想 . （难点） 学习目标 导入新课 情境引入 同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？ 讲授新课 切线长定理及应用 一 互动探究 问题 1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 ( 如左图所示 ) ，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点 作圆的切线，可以作几条？ P O B A O . P A B P 1. 切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的 切线长 ． A O ①切线是直线，不能度量 . ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2. 切线长与切线的区别在哪里？ 知识要点 问题 2 PA 为 ☉ O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B ． OB 是 ☉ O 的一条半径吗？ PB 是 ☉ O 的切线吗？ （利用图形轴对称性解释） PA 、 PB 有何关系？ ∠ APO 和 ∠ BPO 有何关系？ O . P A B B P O A 切线长定理 : 过圆外一点所画的圆的两条切线的切线长相等 . P A 、 PB 分别切 ☉ O 于 A 、 B PA = PB ∠ OPA =∠ OPB 几何语言 : 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法 . 注意 知识要点 O . P 已知，如图 PA 、 PB 是 ☉ O 的两条切线 ， A 、 B 为切点 . 求证： PA=PB ， ∠APO=∠BPO. 证明： ∵PA 切☉ O 于点 A ， ∴ OA⊥PA. 同理可得 OB⊥PB. ∵ OA=OB ， OP=OP ， ∴Rt △ OAP ≌ Rt △ OBP ， ∴ PA=PB ， ∠APO=∠BPO. 推理验证 A B 想一想： 若连结两切点 A 、 B ， AB 交 OP 于点 M . 你又能得出什么新的结论 ? 并给出证明 . OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA ， PB 是⊙ O 的切线 , 点 A ， B 是切点 ∴ PA = PB ， ∠ OPA=∠OPB ∴△ PAB 是等腰三角形， PM 为顶角的平分线 ∴ OP 垂直平分 AB. O . P A B M 想一想： 若延长 PO 交⊙ O 于点 C ，连结 CA 、 CB ，你又能得出什么新的结论 ? 并给出证明 . 证明：∵ PA ， PB 是⊙ O 的切线 , 点 A ， B 是切点， ∴ PA = PB ，∠ OPA =∠ OPB . ∴ PC = PC . ∴ △ PCA ≌ △ PCB ， ∴ AC = BC. CA = CB O . P A B C 典例精析 例 1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 与⊙ O 分别相切与点 E 、 F 、 G 、 H . 求证： AB+CD=AD+BC. · A B C D O 证明： ∵ AB 、 BC 、 CD 、 DA 与⊙ O 分别相切与点 E 、 F 、 G 、 H ， E F G H ∴ AE=AH ， BE=BF ， CG=CF ， DG=DH . ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH. ∴ AB+CD=AD+BC. 例 2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径． 解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半径． O 在 Rt△ OPA 中， PA ＝ 5 ， ∠ POA ＝ 30° ， O Q 解：过 O 作 OQ ⊥ AB 于 Q ，设铁环的圆心为 O ，连接 OP 、 OA . ∵ AP 、 AQ 为 ⊙ O 的切线， ∴ AO 为 ∠ PAQ 的平分线，即 ∠ PAO ＝ ∠ QAO . 又 ∠ BAC ＝ 60° ， ∠ PAO ＋ ∠ QAO ＋ ∠ BAC ＝ 180° ， ∴∠ PAO ＝ ∠ QAO ＝ 60°. 即铁环的半径为 1. PA 、 PB 是 ☉ O 的两条切线 ， A 、 B 为切点 ， 直线 OP 交 ☉ O 于点 D 、 E ， 交 AB 于 C . （ 1 ） 写出图中所有的垂直关系； OA ⊥ PA ， OB ⊥ PB ， AB ⊥ OP. （ 3 ）写出图中所有的全等三角形； △ AOP ≌ △ BOP ， △ AOC ≌ △ BOC ， △ ACP ≌ △ BCP. （ 4 ） 写出图中所有的等腰三角形 . △ ABP △ AOB （ 2 ） 写出图中与 ∠ OAC 相等的角； ∠ OAC =∠ OBC =∠ APC =∠ BPC. B P O A C E D 练一练 B P O A 2. PA 、 PB 是 ☉ O 的两条切线， A,B 是切点， OA =3. （ 1 ） 若 AP =4, 则 OP = ; （ 2 ） 若 ∠ BPA =60 °, 则 OP = . 5 6 3. 如图， PA 、 PB 是 ☉ O 的两条切线，点 A 、 B 是切点，在弧 AB 上任取一点 C ，过点 C 作 ☉ O 的切线，分别交 PA 、 PB 于点 D 、 E . 已知 PA =7 ，∠ P =40°. 则 ⑵ ∠ DOE = . ⑴ △ PDE 的周长是 ； 14 O P A B C E D 70° 解析：连接 OA 、 OB 、 OC 、 OD 和 OE .∵ PA 、 PB 是☉ O 的两条切线，点 A 、 B 是切点， ∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO= 90 °. ∠AOB=360 ° - ∠PAO - ∠PBO - ∠P=140 °. 又 ∵ DC 、 DA 是☉ O 的两条切线，点 C 、 A 是切点， ∴ DC = DA . 同理可得 CE = CB . O P A B C E D ∵ D ， E 是切线 PA ， PB 上的点， ∴∠ DOC =∠ DOA = ∠ AOC . ∠DOE=∠DOC+∠COE= ( ∠AOC+∠COB ) = 70 °. ∴∠ COE =∠ BOE = ∠ AOC . ∴S △ PDE =PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB= 14. 切线长问题辅助线添加方法： （ 1 ） 分别连接圆心和切点； （ 2 ） 连接两切点； （ 3 ） 连接圆心和圆外一点 . 方法归纳 小 明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 三角形的内切圆及作法 二 互动探究 问题 1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？ O O O O 最大的圆与三角形三边都相切 三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？ 问题 2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？ (1) 如果半径为 r 的☉ I 与△ ABC 的三边都相切，那么圆心 I 应满足什么条件？ (2) 在△ ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？ 圆心 I 到三角形三边的距离相等，都等于 r. 三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等 . 圆心 I 应是三角形的三条角平分线的交点 . 为什么呢？ 已知： △ ABC. 求作： 和 △ ABC 的各边都相切的圆 . M N D 作法： 1. 作 ∠ B 和∠ C 的平分线 BM 和 CN ， 交点为 O. 2. 过点 O 作 OD ⊥ BC. 垂足为 D. 3. 以 O 为圆心 ， OD 为半径作圆 O. ☉ O 就是所求的圆 . 做一做 1. 与三角形三边都相切的圆叫作三角形的 内切圆 . 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的 内心 . 3. 这个三角形叫做这个圆的 外切三角形 . B A C I ☉ I 是△ ABC 的内切圆，点 I 是△ ABC 的内心，△ ABC 是 ☉ I 的外切三角形 . 知识要点 三角形的内心的性质 三 B A C I 问题 1 如图， ☉ I 是△ ABC 的内切圆，那么线段 OA ， OB , OC 有什么特点？ 互动探究 线段 OA ， OB , OC 分别是 ∠A ， ∠B ， ∠C 的平分线 . B A C I 问题 2 如图，分别过点作 AB 、 AC 、 BC 的垂线，垂足分别为 E 、 F ， G ，那么线段 IE 、 IF 、 IG 之间有什么关系？ E F G IE=IF=IG 知识要点 三角形内心的性质 三角形的内心在三角形的 角平分线上 . 三角形的内心到三角形的三边距离相等 . B A C I E F G IA ， IB ， IC 是 △ ABC 的角平分线， IE=IF=IG . 例 3 如图，△ ABC 中，∠ B =43° ，∠ C =61 ° ，点 I 是△ ABC 的内心，求∠ BIC 的度数 . 解：连接 IB ， IC . A B C I ∵ 点 I 是 △ ABC 的内心， ∴ IB ， IC 分别 是 ∠ B ， ∠ C 的平分线， 在△ IBC 中， 例 4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱 . 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3cm ，求圆柱底面圆的半径 . 该木模可以抽象为几何如下几何图形 . C A B r O D 解： 如图，设圆 O 切 AB 于点 D ，连接 OA 、 OB 、 OD . ∵ 圆 O 是△ ABC 的内切圆 , ∴ AO 、 BO 是∠ BAC 、∠ ABC 的角平分线 ∵ △ ABC 是等边三角形 , ∴ ∠ OAB =∠ OBA =30 o ∵ OD ⊥ AB ， AB =3cm ， ∴ AD = BD = AB =1.5(cm) ∴ OD = AD · tan30 o = (cm) 答 : 圆柱底面圆的半径为 cm. 例 5 △ ABC 的内切圆 ☉ O 与 BC 、 CA 、 AB 分别相切于点 D 、 E 、 F ， 且 AB =13cm ， BC =14cm ， CA =9cm ， 求 AF 、 BD 、 CE 的长 . 想一想： 图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？ B A C E D F O 解 : 设 AF = x cm ，则 AE = x cm. ∴ CE=CD=AC-AE =9- x (cm) ， BF=BD=AB-AF =13- x (cm) . 由 BD+CD=BC ， 可得 (13- x )+(9- x )=14 ， ∴ AF =4(cm) ， BD =9(cm) ， CE =5(cm). 方法小结： 关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程 . 解得 x= 4. A C E D F O 比一比 名称 确定方法 图形 性质 外心： 三角形外接圆的圆心 内心： 三角形内切圆的圆心 三角形三边 中垂 线的交 点 1. OA=OB=OC 2. 外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分 线的 交点 1. 到三边的距离相等； 2. OA 、 OB 、 OC 分别平分 ∠ BAC 、∠ ABC 、∠ ACB 3. 内心在三角形内部． A B O A B C O C A B O D 1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径 . 解：如图，由题意可知 BC =6cm, ∠ ABC =60 °， OD ⊥ BC ， OB 平分 ∠ ABC . ∴∠ OBD =30 °， BD=3cm, △ OBD 为直角三角形 . 内切圆半径 外接圆半径 练一练 变式： 求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比 . sin ∠ OBD = sin30° = C A B R r O D A B C O D E F A B C D E F O 2. 设△ ABC 的面积为 S ，周长为 L ， △ ABC 内切圆 的半径为 r ，则 S ， L 与 r 之间存在怎样的数量关系？ A B C O c D E r 3. 如图，直角三角形的两直角边分别是 a 、 b , 斜边为 c ，则其内切圆的半径 r 为 ___________ （以含 a 、 b 、 c 的代数式表示 r ） . 解析：过点 O 分别作 AC ， BC ， AB 的垂线，垂足分别为 D ， E ， F . F 则 AD=AC - DC=b - r, BF=BC - CE=a - r , 因为 AF=AD ， BF=BE ， AF+BF=c, 所以 a - r+b - r=c , 所以 A 2. 如图，已知点 O 是 △ ABC 的内心，且 ∠ ABC = 60 °, ∠ ACB = 80 °, 则 ∠ BOC = . 1. 如图， PA 、 PB 是 ☉ O 的两条切线，切点分别是 A 、 B ，如果 AP =4, ∠ APB = 40 ° , 则 ∠ APO = , PB = . B P O A 第 1 题 B C O 第 2 题 当堂练习 20 ° 4 110 ° （ 3 ）若∠ BIC=100 ° ，则∠ A = 度 . （ 2 ）若∠ A=80 ° ，则∠ BIC = 度 . 130 20 3. 如图，在△ ABC 中，点 I 是内心， （ 1 ）若∠ ABC=50° ， ∠ ACB=70° ，∠ BIC=_____. A B C I （ 4 ）试探索： ∠ A 与∠ BIC 之间存在怎样的数量关系？ 120° 4 .如图所示，已知在△ ABC 中，∠ B ＝ 90° ， O 是 AB 上一点，以 O 为圆心， OB 为半径的圆与 AB 交于 E ， 与 AC 相切于点 D .求证： DE ∥ OC . 方法一： 证明：连接 OD， ∵ AC 切 ⊙O 点 D， ∴ OD⊥AC， ∴ ∠ODC=∠B =90° . 在Rt△ OCD 和Rt△ OCB 中， OD＝OB ，OC＝OC ∴ Rt△ODC ≌ Rt△OBC （HL）， ∴ ∠DOC=∠BOC . ∵ OD=OE， ∴ ∠ODE=∠OED， ∵ ∠DOB=∠ODE+∠OED， ∴ ∠BOC=∠OED， ∴ DE∥OC． 方法二： 证明：连接 B D， ∵ AC 切 ⊙O 于 点 D， AC 切 ⊙O 于 点 B ，∴ DC=BC ， OC 平分 ∠DCB. ∴ OC ⊥ BD. ∵BE 为 ⊙O 的直径， ∴ DE⊥BD. ∴ DE∥OC． 5. 如图，△ ABC 中， I 是内心，∠ A 的平分线和△ ABC 的外接圆相交于点 D . 求证： D I ＝ DB . 证明：连接 BI . ∵ I 是△ ABC 的内心， ∴ ∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵ ∠CBD=∠CAD， ∴ ∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴ ∠BID=∠IBD， ∴ BD=ID． 切线长 切线长定理 作用 图形的轴对称性 原理 提供了证线段和 角相等的新方法 辅助线 分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点 . 三角形内切圆 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程 . 有关概念 内心概念及性质 应用 课堂小结