第2讲 不等式选讲（选修4-5）
1．(1)(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8.
(2)设a＞0，|x－1|＜， |y－2|＜，求证|2x＋y－4|＜a.
证明：(1)因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
且(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
所以(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.
(2)因为|x－1|＜，|y－2|＜，
所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.故原不等式得证．
2．(2017·郴州三模)在平面直角坐标系中，定义点P(x1，y1)、Q(x2，y2)之间的“直角距离”为L(P，Q)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知点A(x，1)、B(1，2)、C(5，2)三点．
(1)若L(A，B)＞L(A，C)，求x的取值范围；
(2)当x∈R时，不等式L(A，B)≤t＋L(A，C)恒成立，求t的最小值．
解：(1)由定义得|x－1|＋1＞|x－5|＋1，
则|x－1|＞|x－5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3.
(2)当x∈R时，不等式|x－1|≤|x－5|＋t恒成立，也就是t≥|x－1|－|x－5|恒成立，
因为|x－1|－|x－5|≤|(x－1)－(x－5)|＝4，
所以t≥4，tmin＝4.
故t的最小值为4.
3．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.
当x＝时等号成立，
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．
(导学号 55410140)
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
(1)解：f(x)＝
当x≤－时，由f(x)＜2得－2x＜2，
解得x＞－1，所以－1＜x≤－；
当－＜x＜时，f(x)＜2恒成立．
当x≥时，由f(x)＜2得2x＜2，
解得x＜1，所以≤x＜1.
所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．
(2)证明：由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1.
从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b)2＜0，
所以(a＋b)2＜(1＋ab)2，
因此|a＋b|＜|1＋ab|.
5．(2017·池州模拟)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝|2x－a|＋a，
由f(x)≤6，可得
解得a－3≤x≤3.
又不等式的解集为{x|－2≤x≤3}，
可得a－3＝－2，所以实数a＝1.
(2)在(1)的条件下，f(x)＝|2x－1|＋1，
所以f(n)＝|2n－1|＋1，存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，即f(n)＋f(－n)≤m，即|2n－1|＋|2n＋1|＋2≤m.
由于|2n－1|＋|2n＋1|≥|(2n－1)－(2n＋1)|＝2，
所以|2n－1|＋|2n＋1|的最小值为2，所以m≥4，
故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
6．(2017·郑州质检)已知a＞0，b＞0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|的最小值为4.
(1)求a＋b的值；
(2)求a2＋b2的最小值．
解：(1)因为|x＋a|＋|x－b|≥|a＋b|，
所以f(x)≥|a＋b|，当且仅当(x＋a)(x－b)＜0时，等号成立，
又a＞0，b＞0，
所以|a＋b|＝a＋b，所以f(x)的最小值为a＋b，
所以a＋b＝4.
(2)由(1)知a＋b＝4，b＝4－a，
a2＋b2＝a2＋(4－a)2＝a2－a＋＝
＋，
当且仅当a＝，b＝时，a2＋b2的最小值为.
7．(2017·乐山二模)已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，若存在实数x使得f(x)＜2成立．
(1)求实数m的值；
(2)若α，β＞1，f(α)＋f(β)＝6，求证：＋≥.
(1)解：因为|x－m|＋|x|≥|x－m－x|＝|m|，
所以要使|x－m|＋|x|＜2有解，
则|m|＜2，解得－2＜m＜2.
因为m∈N*，所以m＝1.
(2)证明：α，β＞1，f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝6，
所以α＋β＝4，
所以＋≥(α＋β)＝≥＝，
当且仅当＝，即α＝，β＝时“＝”成立，
故＋≥.
8．(2017·新乡三模)已知不等式|x－m|＜|x|的解集为(1，＋∞)．(导学号 55410141)
(1)求实数m的值；
(2)若不等式 ＜－＜对x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由|x－m|＜|x|，得|x－m|2＜|x|2，
即2mx＞m2，
又不等式|x－m|＜|x|的解集为(1，＋∞)，
则1是方程2mx＝m2的解，解得m＝2(m＝0舍去)．
(2)因为m＝2，所以不等式＜－＜对x∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a－5＜|x＋1|－|x－2|＜a＋2对x∈(0，＋∞)恒成立．
设f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
当0＜x＜2时，f(x)是增函数，－1＜f(x)＜3，
当x≥2时，f(x)＝3.
因此函数f(x)的值域为(－1，3]．
从而原不等式等价于解得1＜a≤4.
所以实数a的取值范围是(1，4]．
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