2018届中考数学学练测《第4讲第4课时操作探究型问题》课件.ppt

第 4 课时 操作探究型问题 [2017· 临沂 ] 数学课上，张老师出示了问题：如图 4 － 4 － 1① ， AC ， BD 是四边形 ABCD 的对角线，若 ∠ ACB ＝ ∠ ACD ＝ ∠ ABD ＝ ∠ ADB ＝ 60° ，则线段 BC ， CD ， AC 三者之间有何等量关系？ 经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图 ② ，延长 CB 到 E ，使 BE ＝ CD ，连结 AE ，证得 △ ABE ≌△ ADC ，从而容易证明 △ ACE 是等边三角形，故 AC ＝ CE ，所以 AC ＝ BC ＋ CD . 图 4 － 4 － 1 小亮展示了另一种正确的思路：如图 ③ ，将 △ ABC 绕着点 A 逆 时针旋转 60° ，使 AB 与 AD 重合，从而容易证明 △ ACF 是等边 三角形，故 AC ＝ CF ，所以 AC ＝ BC ＋ CD . 在此基础上，同学们作了进一步的研究： (1) 小颖提出：如图 ④ ，如果把 “∠ ACB ＝ ∠ ACD ＝ ∠ ABD ＝ ∠ ADB ＝ 60°” 改为 “∠ ACB ＝ ∠ ACD ＝ ∠ ABD ＝ ∠ ADB ＝ 45°” ，其他条件不变，那么线段 BC ， CD ， AC 三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明． 图 4 － 4 － 1 (2) 小华提出：如图 ⑤ ，如果把 “∠ ACB ＝ ∠ ACD ＝ ∠ ABD ＝ ∠ ADB ＝ 60°” 改为 “∠ ACB ＝ ∠ ACD ＝ ∠ ABD ＝ ∠ ADB ＝ α ” ，其他条件不变，那么线段 BC ， CD ， AC 三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明． 【 解析 】 (1) 如答图 ① ，延长 CB 到 E ，使 BE ＝ CD ，连结 AE ，构造 △ ADC ≌△ ABE ，从而得到 AE ＝ AC ，进而得出结论； (2) 延长 CD 到 E ，使 DE ＝ BC ，连结 AE ，构造 △ ABC ≌△ ADE ，从而得到 AE ＝ AC ，∠ E ＝ α ，作 AF ⊥ EC ，则 CF ＝ AC ·cos α ，从而得到结论． 证明：方法一：如答图 ① ，延长 CB 到 E ，使 BE ＝ CD ，连结 AE . ∵∠ ACB ＝ ∠ ACD ＝ ∠ ABD ＝ ∠ ADB ＝ 45° ， ∴∠ BAD ＝ 90° ，∠ BCD ＝ 90° ， AD ＝ AB ， ∴∠ ABC ＋ ∠ ADC ＝ 180° ， 又 ∵∠ ABE ＋ ∠ ABC ＝ 180° ， ∴∠ ADC ＝ ∠ ABE ，∴△ ADC ≌△ ABE ， ∴ AC ＝ AE ，∠ CAD ＝ ∠ EAB ， ∴∠ EAC ＝ ∠ BAD ＝ 90° ， 例 1 答图 方法二，如答图 ② ，将 △ ABC 绕着点 A 逆时针旋转 90° 至 △ ADF 的位置，使 AB 与 AD 重合，易得 C ， D ， F 三点共线，之后与方法一相同，证明略． (2) BC ＋ CD ＝ 2 AC cos α . 理由：如答图 ③ ，延长 CD 至 E ，使 DE ＝ BC ，连结 AE . ∵∠ ABD ＝ ∠ ADB ＝ α ， ∴ AB ＝ AD ，∠ BAD ＝ 180° － ∠ ABD － ∠ ADB ＝ 180° － 2 α ， ∵∠ ACB ＝ ∠ ACD ＝ α ，∴∠ ACB ＋ ∠ ACD ＝ 2 α ， ∴∠ BAD ＋ ∠ BCD ＝ 180° ，∴∠ ABC ＋ ∠ ADC ＝ 180° ， ∵∠ ADC ＋ ∠ ADE ＝ 180° ，∴∠ ABC ＝ ∠ ADE ， ∴△ ABC ≌△ ADE ( SAS ) ，∴∠ ACB ＝ ∠ AED ＝ α ， AC ＝ AE ， ∴∠ AEC ＝ α ，过点 A 作 AF ⊥ CE 于 F ，∴ CE ＝ 2 CF ， 在 Rt △ ACF 中，∠ ACD ＝ α ， CF ＝ AC ·cos ∠ ACD ＝ AC ·cos α ， ∴ CE ＝ 2 CF ＝ 2 AC ·cos α ， ∵ CE ＝ CD ＋ DE ＝ CD ＋ BC ，∴ BC ＋ CD ＝ 2 AC cos α . 1 ． [2017· 岳阳 ] 问题背景：已知 ∠ EDF 的顶点 D 在 △ ABC 的边 AB 上 ( 不与 A ， B 重合 ) ． DE 交 AC 所在直线于点 M ， DF 交 BC 所在直线于点 N . 记 △ ADM 的面积为 S 1 ，△ BND 的面积为 S 2 . 图 4 － 4 － 2 (1) 初步尝试：如图 4 － 4 － 2① ，当 △ ABC 是等边三角形， AB ＝ 6 ，∠ EDF ＝ ∠ A ，且 DE ∥ BC ， AD ＝ 2 时，则 S 1 · S 2 ＝ ______ ； (2) 类比探究：在 (1) 的条件下，先将点 D 沿 AB 平移，使 AD ＝ 4 ，再将 ∠ EDF 绕点 D 旋转至如图 ② 所示位置，求 S 1 · S 2 的值； 12 (3) 延伸拓展：当 △ ABC 为等腰三角形时，设 ∠ B ＝ ∠ A ＝ ∠ EDF ＝ α . (Ⅰ) 如图 ③ ，当点 D 在线段 AB 上运动时，设 AD ＝ a ， BD ＝ b ，求 S 1 · S 2 的表达式 ( 用 a ， b 和 α 的三角函数表示 ) ． (Ⅱ) 如图 ④ ，当点 D 在 BA 的延长线上运动时，设 AD ＝ a ， BD ＝ b ，直接写出 S 1 · S 2 的表达式，不必写出解答过程． 解 ： (2) 如答图 ① ，过 M ， N 分别作 MG ⊥ AB ， NH ⊥ AB ，垂足为 G ， H . ∵∠ ADM ＋ ∠ MDN ＋ ∠ NDB ＝ 180° ， ∠ ADM ＋ ∠ A ＋ ∠ DMA ＝ 180° ，∠ EDF ＝ ∠ A ， ∴∠ NDB ＝ ∠ DMA ，又 ∵∠ A ＝ ∠ B ， 变 式跟进 1 答图① 变式跟进 1 答图 ② 2 ． [2016· 成都 ] 如图 4 － 4 － 3① ，在 △ ABC 中，∠ ABC ＝ 45° ， AH ⊥ BC 于点 H ，点 D 在 AH 上，且 DH ＝ CH ，连结 BD . (1) 求证： BD ＝ AC ； (2) 将 △ BHD 绕点 H 旋转，得到 △ EHF ( 点 B ， D 分别与点 E ， F 对应 ) ，连结 AE . 图 4 － 4 － 3 (Ⅰ) 如图 ② ，当点 F 落在 AC 上时 ( F 不与 C 重合 ) ，若 BC ＝ 4 ， tan C ＝ 3 ，求 AE 的长； (Ⅱ) 如图 ③ ，当 △ EHF 是由 △ BHD 绕点 H 逆时针旋转 30° 得到时，设射线 CF 与 AE 相交于点 G ，连结 GH ，试探究线段 GH 与 EF 之间满足的等量关系，并说明理由． 【 解析 】 (1) 先判断 AH ＝ BH ，再判断出 △ BHD ≌△ AHC 即可； (2)(Ⅰ) 如答图，先根据 tan C ＝ 3 ，求出 AH ＝ 3 ， CH ＝ 1 ，然后根据 △ EHA ∽△ FHC ，得到 HP ＝ 3 AP ， AE ＝ 2 AP ，最后用勾股定理求出即可； ∴ 3 x ＋ x ＝ 4 ， ∴ x ＝ 1 ，∴ AH ＝ 3 ， CH ＝ 1 ， 由旋转知，∠ EHF ＝ ∠ BHD ＝ ∠ AHC ＝ 90° ， EH ＝ AH ＝ 3 ， CH ＝ DH ＝ FH ＝ 1 ， ∵∠ EHA ＋ ∠ AHF ＝ ∠ FHC ＋ ∠ AHF ， ∴∠ EHA ＝ ∠ FHC ， 变式跟进 2 答图 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可知，△ AEH 和 △ FHC 都为等腰三角形，且 △ AHE ∽△ FHC ，其中 ∠ BHE ＝ 30° ，