冀教版九年级数学下册《30.1二次函数》课件.pptx

30.1 二次函数 第三十章 二次函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1. 理解掌握二次函数的概念和一般形式 . （重点） 2. 会利用二次函数的概念解决问题 . 3. 会列二次函数表达式解决实际问题 . （难点） 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线 . 这些曲线能否用函数关系式表示？ 导入新课 情境引入 1. 什么叫函数 ? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数 . 3 . 一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如 y = kx + b （ k,b 是常数， k ≠0 ）的函数叫做一次函数 . 当 b =0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数 . 2 . 什么是一次函数？正比例函数？ ax 2 + bx + c =0 ( a ≠0 ) 问题 1： 某果园有 100 棵橙子树 , 每一棵树平均结 600 个橙子 . 现准备多种一些橙子树以提高产量 , 但是如果多种树 , 那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少 . 根据经验估计 , 每多种一棵树 , 平均每棵树就会少结 5 个橙子 . (1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 讲授新课 二次函数的定义 一 探究归纳 (2) 假设果园增种 x 棵橙子树 , 那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3) 如果要使得果园橙子的总产量为 60320 个 , 那么应该增种多少棵橙子树？ (4) 如果果园橙子的总产量为 y 个 , 那么请你写出 y 与 x 之间的关系式 . 果园共有 (100+x) 棵树 , 平均每棵树结 (600-5x) 个橙子 y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000. (100+x)(600-5x)=60320 解得， 问题 2 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于 x 的关系式为 . y =6 x 2 此式表示了正方体表面积 y 与正方体棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值， y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数 . 问题 3 某水产养殖户用长 40m 的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗 . 要使围成的水面面积最大，则它的边长应是多少米？ 设围成的矩形水面的一边长为 x m, 那么，矩形水面的另一边长应为（ 20- x ） m. 若它的面积是 S m 2 ，则有 此式表示了边长 x 与围网的面积 S 之间的关系，对于 x 的每一个值， S 都有唯一的一个对应值，即 S 是 x 的函数 . 函数①②③有什么共同点? 函数都是用 自变量的二次整式表示 的 y =6 x 2 y=-5x²+100x+60000. 二次函数的定义： 一般地，若两个自变量 x ， y 之间的对应关系可以表示成 y = ax ²+ bx + c ( a , b , c 是常数, a ≠ 0 )的形式，则称 y 是 x 的 二次函数 . 温馨提示： （1） 等号左边是变量 y ，右边是关于自变量 x 的整式； （2） a , b , c 为常数，且 a ≠ 0; （3） 等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 归纳总结 例 1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（ x 是自变量） ① y = ax 2 + bx + c ② s =3-2 t ² ③ y = x 2 ④ ⑤ y = x ²+ x ³+25 ⑥ y =( x +3)²- x ² 不一定是，缺少 a ≠0 的条件. 不是，右边是分式. 不是， x 的最高次数是 3. y =6 x +9 典例精析 判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式 y = ax 2 + bx + c ( a ≠0) 外， 还有其特殊形式如 y = ax 2 , y = ax 2 + bx , y = ax 2 + c 等. 方法归纳 想一想 : 二次函数的一般式 y = ax ２ ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0） 与一元二次方程 ax ２ ＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠ 0） 有什么联系和区别？ 联系 ： (1) 等式一边都是 ax 2 ＋ bx ＋ c 且 a ≠ 0； (2) 方程 ax 2 ＋ bx ＋ c =0 可以看成是函数 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 中 y =0 时得到的. 区别 : 前者是函数 . 后者是方程 . 等式另一边前者是 y , 后者是 0. 二次函数定义的应用 二 例 2 （1） m 取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题 可知, 解得 （2）由题 可知, 解得 m =3 . 第 （2） 问易忽略二次项系数 a ≠0 这一限制条件，从而得出 m =3 或 -3 的错误答案，需要引起同学们的重视 . 注意 1. 已知 : ， m 取什么值时， y 是 x 的二次函数？ 解：当 =2 且 k+2≠0 ，即 k=-2 时 , y 是 x 的二次函数 . 变式训练 解： 由题意得： ∴m≠±3 解： 由题意得： 【解题小结】 本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题. 例 3 一个二次函数 . （ 1 ）求 k 的值 . （ 2 ）当 x = 0.5 时， y 的值是多少？ 解： （ 1 ）由题意，得 解得 （ 2 ）当 k = 2 时， . 将 x = 0.5 代入函数关系式中， . 此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量指数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将 x 的值代入其中，求出 y 的值 . 归纳总结 例 4 ： 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 ( 最低档次 ) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件． (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 ( 其中 x 为正整数，且 1≤ x ≤10) ，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解： ∵ 第一档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每提高一个档次，每件利润加 2 元，但一天产量减少 5 件， ∴ 第 x 档次，提高了 ( x － 1) 档，利润增加了 2( x － 1) 元． ∴ y ＝ [6 ＋ 2( x － 1)][95 － 5( x － 1)] ， 即 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400( 其中 x 是正整数，且 1≤ x ≤10) ； (2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次． 解：由题意可得 － 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 ＝ 1120 ， 整理得 x 2 － 18 x ＋ 72 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 6 ， x 2 ＝ 12( 舍去 ) ． 所以，该产品的质量档次为第 6 档． 【方法总结】 解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型． 思考： 1. 已知二次函数 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 , 自变量 x 的取值范围是什么？ 2. 在例 3 中，所得出 y 关于 x 的函数关系式 y ＝－ 10 x 2 ＋ 180 x ＋ 400 ，其自变量 x 的取值范围与 1 中相同吗？ 【总结】 二次函数自变量的取值范围一般是 全体实数 ，但是在实际问题中，自变量的取值范围应 使实际问题有意义 . 当堂练习 2. 函数 y =( m - n ) x 2 + mx + n 是二次函数的条件是 ( ) A . m , n 是常数 , 且 m ≠0 B . m , n 是常数 , 且 n ≠0 C . m , n 是常数 , 且 m ≠ n D . m , n 为任何实数 C 1 . 把 y=(2-3 x )(6+ x ) 变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . 3 ． 下列函数是二次函数的是 ( ) A ． y ＝ 2 x ＋ 1 B ． C ． y ＝ 3 x 2 ＋ 1 D ． C -3 x 2 -16 12 4. 已知函数 y=3x 2m-1 － 5 ① 当 m= ＿＿时， y 是关于 x 的一次函数； ② 当 m= ＿＿时， y 是关于 x 的反比例函数； ③ 当 m= ＿＿时， y 是关于 x 的二次函数 . 1 0 5. （ 1 ） n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ （ 2 ）假 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x, 一年到期后 , 银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存 . 如果存款是 10 （万元） , 那么请你写出两年后的本息和 y( 万元 ) 的表达式 ( 不考虑利息税 ). y=10(x+1)²=10x²+20x+10. 6. 矩形的周长为 16cm , 它的一边长为 x （ cm), 面 积为 y （ cm 2 ). 求 （ 1 ） y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； （ 2 ） 当 x =3 时矩形的面积 . 解 ：(1) y ＝(8－ x ) x ＝－ x 2 ＋8 x (0＜ x ＜8)； (2) 当 x ＝3 时 ， y ＝－3 2 ＋8×3＝15 cm 2 . 课堂小结 二次函数 定 义 y = ax 2 + bx +c( a ≠0 ， a , b , c 是常数 ） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠0. 特殊形式 y = ax 2 ； y = ax 2 + bx ； y = ax 2 + c ( a ≠0 ， a , b , c 是常数） .