16.3
二根次式的加减
第十六章 二次根式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第
2
课时 二次根式的混合运算
学习目标
1.
掌握二次根式的混合运算的运算法则
.
（重点）
2.
会运用
二次根式的混合运算法则进行有关的运算
.
（难点）
导入新课
问题
1
单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么
?
问题
2
多项式与单项式的除法法则是什么
?
m
(
a
+
b
+
c
)=
ma
+
mb
+
mc
；
(
m+n
)(
a
+
b
)=
ma
+
mb
+
na+nb
复习引入
(
ma
+
mb
+
mc
)
÷
m
=
a
+
b
+
c
分配律
单×多
转化
前面两个问题的思路是：
思考
若把字母
a
,
b
,
c
,
m
都用二次根式代替
(
每个同学任选一组
)
，然后对比归纳，你们发现了什么？
单×单
讲授新课
二次根式的混合运算及应用
一
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：
运算律、运算顺序、乘法法则
仍然适用
.
例
1
计算：
解：
二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行
.
归纳
解：
此处类比
“
多项式×多项式
”
即
(
x
+
a
)(
x
+
b
)=
x
2
+(
a
+
b
)
x
+
ab.
解：
(1)
原式
(2)
原式
【变式题】
计算：
有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数
.
归纳
例
2
甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底宽 ，高 的梯形，这段路基长
500 m
，那么这段路基的土石方
(
即路基的体积
,
其中路基的体积
=
路基横断面面积×路基的长度
)
为多少立方米呢
？
典例精析
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：
答：这段路基的土石方为
计算：
练一练
问题
1
整式乘法运算中的乘法公式有哪些
?
平方差公式：
(
a+b
)(
a-b
)
=a
2
-b
2
;
完全平方公式：
(
a+b
)
2
=a
2
+
2
ab+b
2
;
(
a-b
)
2
=a
2
-
2
ab+b
2
.
利用乘法公式进行二次根式的运算
二
问题
2
整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗
?
整式的乘法公式就是多项式×多项式
前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用哟
例
3
计算：
解：
典例精析
解：
进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等来简化运算
.
归纳
【变式题】
计算：
解：
(1)
原式
(2)
原式
计算
：
练一练
先用乘法交换律，再用乘法公式化简
.
求代数式的值
三
例
3
已知 试求
x
2
+2
xy
+
y
2
的值
.
解：
x
2
+2
xy
+
y
2
=
（
x
+
y
)
2
把 代入上式得
原式
=
解
:∵
，
∴
∴
x
3
y
+
xy
3
=
xy
(
x
2
+
y
2
)=
xy
[(
x
+
y
)
2
-2
xy
]
【变式题】
已知 ，求
x
3
y
+
xy
3
.
用整体代入法求代数式值的方法：求关于
x
,
y
的对称式
(
即交换任意两个字母的位置后，代数式不变
)
的值，一般先求
x
+
y
,
xy
,
x
-
y
,
等的值，然后将所求代数式适当变形成知含
x
+
y
,
xy
,
x
-
y
,
等式子，再代入求值
.
归纳
在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如
:
拓展探究
思考
如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？
根据整式的乘法公式在二次根式中也适用，你能想到什么好方法吗？
例
4
计算
:
解
:
分母形如 的式子，分子、分母同乘以
的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号
.
归纳
【变式题】
已知
,
求
.
解
:∵
解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知条件，再用乘法公式变形、代入求值即可
.
归纳
已知 的整数部分是
a
,
小数部分是
b
,
求
a
2
-b
2
的值
.
解：
练一练
当堂练习
1.
下列计算中正确的是（ ）
B
2.
计算：
5
3.
设 则
a
b
(
填“
>”
“
<
”或
“
=
”）
.
=
4.
计算
：
解
：
解：原式
5.
在一个边长为
cm
的正方形内部，挖去一个边长为
cm
的正方形，求剩余部分的面积
.
解：由题意得
即剩余部分的面积是
6.(1)
已知 ，求 的值；
解：
x
2
-2
x
-3=(
x
-3)(
x
+1)
(2)
已知 ，求 的值
.
解：
6.
阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
能力提升：
(1)
请用两种不同的方法化简：
(2)
化简：
解：
(1)
课堂小结
二次根式混合运算
乘法公式
化简求值
分母有理化
化简已知条件和所求代数式
(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2
-
b
2
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
(
a
-
b
)
2
=
a
2
-2
ab
+
b
2
(
x
+
a
)(
x
+
b
)=
x
2
+(
a
+
b
)
x
+
ab
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