3
.
1
.
4
空间向量的直角坐标运算
1
.
了解空间向量坐标的定义
.
2
.
掌握空间向量的坐标运算
.
3
.
会利用向量的坐标关系
,
判定两个向量共线或垂直
.
4
.
会计算向量的长度及两向量的夹角
.
1
.
空间向量的坐标表示
(1)
单位正交基底
.
建立空间直角坐标系
Oxyz
,
分别沿
x
轴
,
y
轴
,
z
轴的正方向引
单位
向量
i
,
j
,
k
,
这三个互相
垂直
的单位向量构成空间向量的一个基底
{
i
,
j
,
k
},
这个基底叫做单位正交基底
.
单位向量
i
,
j
,
k
都叫做
坐标向量
.
【做一做
1
-
1
】
设
{
e
1
,
e
2
,
e
3
}
是空间向量的一个单位正交基底
,
则
|
e
1
|+|
e
2
|+|
e
3
|=
.
答案
:
3
(2)
空间向量的坐标表示
.
在空间直角坐标系中
,
已知任一向量
a
,
根据空间向量分解定理
,
存在
唯一
实数组
(
a
1
,
a
2
,
a
3
),
使
a
=a
1
i
+a
2
j
+a
3
k
,
a
1
i
,
a
2
j
,
a
3
k
分别为向量
a
在
i
,
j
,
k
方向上的分向量
,
有序实数组
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
叫做向量
a
在此直角坐标系中的坐标
.
上式可简记作
a
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
)
.
【做一做
1
-
2
】
向量
0
的坐标为
.
答案
:
(0,0,0)
名师点拨
向量的坐标与点的坐标表示方法不同
,
如
向量
a
=
(
x
,
y
,
z
),
点
A
(
x
,
y
,
z
)
.
2
.
空间向量的直角坐标运算
(1)
设
a
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
),
b
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
),
则容易得到
a
+
b
=
(
a
1
+b
1
,
a
2
+b
2
,
a
3
+b
3
)
;
a
-
b
=
(
a
1
-b
1
,
a
2
-b
2
,
a
3
-b
3
)
;
λ
a
=
(
λ
a
1
,
λ
a
2
,
λ
a
3
)
;
a
·
b
=
a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
.
(2)
向量在空间直角坐标系中的坐标的求法
:
设
A
(
x
1
,
y
1
,
z
1
),
B
(
x
2
,
y
2
,
z
2
),
【做一做
2
】
设
a
=
(1,2,3),
b
=
(1,1,1),
则
2
a
+
b
=
.
答案
:
(3,5,7)
3
.
空间向量平行和垂直的条件
设
a
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
),
b
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
),
则
(1)
a
∥
b
(
b
≠
0
)
⇔
a
=
λ
b
⇔
a
1
=
λ
b
1
,
a
2
=
λ
b
2
,
a
3
=
λ
b
3
,
(2)
a
⊥
b
⇔
a
·
b
=
0
⇔
a
1
b
1
+a
2
b
2
+a
3
b
3
=
0
.
【做一做
3
】
设
a
=
(1,2,3),
b
=
(1,
-
1,
x
),
若
a
⊥
b
,
则
x=
.
【做一做
4
】
向量
a
=
(2,
-
1,
-
1),
b
=
(1,
-
1,0)
的夹角余弦值为
,
名师点拨
1
.
空间向量的坐标是空间向量的一种形式
.
在坐标形式下的模长公式、夹角公式、向量平行和垂直的条件与在普通基底下相同
,
仅仅是形式不同
;
2
.
空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离
(
长度
)
、夹角、证明垂直和平行关系等
.
如何理解空间向量的坐标及其运算
?
剖析
:
(1)
注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系
.
向量的坐标是其终点与起点坐标的差量
.
只有以原点为起点的向量
,
向量的坐标才等于向量终点的坐标
.
(2)
空间向量的坐标运算和平面向量基本一致
,
只是多了一个竖坐标
.
(3)
坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算
.
题型一
题型二
题型三
空间向量的坐标运算
【例
1
】
设向量
a
=
(3,5,
-
4),
b
=
(2,1,8),
计算
3
a
-
2
b
,(
a
+
b
)·(
a
-
b
)
.
分析
:
利用空间向量的坐标运算先求
3
a
,2
b
,
a
+
b
,
a
-
b
,
再进行相关运算
.
解
:
3
a
=
(9,15,
-
12),2
b
=
(4,2,16),3
a
-
2
b
=
(9,15,
-
12)
-
(4,2,16)
=
(9
-
4,15
-
2,
-
12
-
16)
=
(5,13,
-
28);
a
+
b
=
(3,5,
-
4)
+
(2,1,8)
=
(3
+
2,5
+
1,
-
4
+
8)
=
(5,6,4);
a
-
b
=
(3,5,
-
4)
-
(2,1,8)
=
(3
-
2,5
-
1,
-
4
-
8)
=
(1,4,
-
12),
(
a
+
b
)·(
a
-
b
)
=
(5,6,4)·(1,4,
-
12)
=
5×1
+
6×4
+
4×(
-
12)
=
5
+
24
-
48
=-
19
.
反思
空间向量的坐标运算首先进行数乘运算
,
然后再进行加减运算
,
最后进行数量积运算
,
先算括号内的后算括号外的
.
题型一
题型二
题型三
空间向量的平行与垂直问题
【例
2
】
设向量
a
=
(1,
x
,1
-x
),
b
=
(1
-x
2
,
-
3
x
,
x+
1),
求满足下列条件时
,
实数
x
的值
.
(1)
a
∥
b
;(2)
a
⊥
b
.
分析
:
解答本题可先由
a
∥
b
,
a
⊥
b
分别建立关于
x
的方程
,
再解方程即可
.
解
:
(1)
①
当
x=
0
时
,
a
=
(1,0,1),
b
=
(1,0,1),
a
=
b
,
满足
a
∥
b
.
②
当
x=
1
时
,
a
=
(1,1,0),
b
=
(0,
-
3,2),
不满足
a
∥
b
,
∴
x
≠1
.
题型一
题型二
题型三
反思
要熟练掌握向量平行和垂直的条件
,
借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算
.
在应用坐标形式下的平行条件时
,
一定注意结论成立的前提条件
,
在条件不明确时要分类讨论
.
题型一
题型二
题型三
空间向量的夹角及长度公式的应用
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
反思
运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路
:
(1)
建立空间直角坐标系
;
(2)
求出相关点的坐标和向量坐标
;
(3)
结合公式进行计算
;
(4)
将计算的向量结果转化为几何结论
.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
2.
下面各组向量不平行的是
(
)
A.
a
=
(1,0,0),
b
=
(
-
3,0,0)
B.
c
=
(0,1,0),
d
=
(1,0,1)
C.
e
=
(0,1,
-
1),
f
=
(0,
-
1,1)
D.
g
=
(1,0,0),
h
=
(0,0,0)
解析
:
A
项中
b
=-
3
a
,
a
∥
b
,C
项中
f
=-
e
,
f
∥
e
,D
项中
h
=
0
,
∴
h
∥
g
.
答案
:
B
6
1
2
3
4
5
3.
已知
a
=
(1,1,
x
),
b
=
(1,2,1),
c
=
(1,1,1),
且
(
c
-
a
)·2
b
=-
2,
则
x
的值为
(
)
A.3 B.4 C.2 D.1
解析
:
∵
(
c
-
a
)·2
b
=
(0,0,1
-x
)·(2,4,2)
=-
2,
∴
2(1
-x
)
=-
2,
x=
2
.
答案
:
C
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
6.
已知向量
a
=
(
-
2,2,0),
b
=
(
-
2,0,2),
求向量
n
使
n
⊥
a
,
且
n
⊥
b
.
解
:
设
n
=
(
x
,
y
,
z
),
则
n
·
a
=
(
x
,
y
,
z
)·(
-
2,2,0)
=-
2
x+
2
y=
0,
n
·
b
=
(
x
,
y
,
z
)·(
-
2,0,2)
=-
2
x+
2
z=
0
.
于是向量
n
=
(
x
,
x
,
x
)
=x
(1,1,1),
x
∈
R
.
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