2018人教B版数学选修1-2课件3.2.2复数的乘法和除法.ppt

3 . 2 . 2 　复数的乘法和除法 1 . 理解复数乘法的规定及法则 , 可类比多项式的乘法进行运算 . 2 . 理解复数除法的定义 , 能进行除法运算 . 1 2 1 . 复数的乘法 (1) 两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行 , 只是在遇到 i 2 时 , 要把 i 2 换成 - 1 , 并把最后的结果写成 a+b i ( a , b ∈ R ) 的形式 . 设 z 1 =a+b i, z 2 =c+d i, a , b , c , d ∈ R , 则 z 1 z 2 = ( a+b i)·( c+d i) =ac+ad i +bc i +bd i 2 = ( ac-bd ) + ( ad+bc )i . (2) 两个互为共轭复数的乘积等于这个复数 ( 或其共轭复数 ) 模的 平方 . 归纳总结 (1) 两个复数的积仍为复数 . (2) 复数的乘法运算满足以下三条运算律 : ① 交换律 : z 1 · z 2 =z 2 · z 1 ; ② 结合律 :( z 1 · z 2 )· z 3 =z 1 ·( z 2 · z 3 ); ③ 乘法对加法的分配律 : z 1 ( z 2 +z 3 ) =z 1 z 2 +z 1 z 3 . (3) 对复数 z 1 , z 2 , z 和自然数 m , n , 有 z m · z n =z m+n ,( z m ) n =z m · n ,( z 1 · z 2 ) n 1 2 【做一做 1 - 1 】 (1 + i) 4 等于 ( 　　 ) A.4 B. - 4 C.4i D. - 4i 解析 : (1 + i) 4 = [(1 + i) 2 ] 2 = (2i) 2 =- 4 . 答案 : B 【做一做 1 - 2 】 (1 - 2i)(3+4i)(-2+i) 等于 ( 　　 ) A.20 + 15i B.20 - 15i C. - 20 - 15i D. - 20 + 15i 解析 : (1 - 2i)(3+4i)(-2+i) =(3+4i-6i-8i 2 )(-2+i)=(11-2i)(-2+i) =-22+11i+4i-2i 2 =-20+15i . 答案 : D 1 2 2 . 复数的除法 (1) 已知 z=a+b i( a , b ∈ R ), 如果存在一个复数 z' , 使 z · z'= 1, 则 z' 叫做 z 的 倒数 , 记 作 (2) 我们规定两个复数除法的运算法则如下 : 上述复数除法的运算法则不必死记 . 在实际运算时 , 我们把 商 c-d i , 把分母变为实数 , 化简后 , 就可以得到运算结果 . 1 2 【做一做 2 - 1 】 (1 - 2i) ÷ (3 + 4i) 等于 ( 　　 ) 答案 : B 【做一做 2 - 2 】 若 z ∈ C , 且 (3 +z )i = 1, 则 z= 　　　   .  解析 : 由 (3 +z )i = 1, 得 3 +z 故 z=- 3 - i . 答案 : - 3 - i 共轭复数有哪些运算性质 ? 剖析 : 共轭复数的性质 : 题型一 题型二 题型三 题型四 复数的乘、除运算 【例题 1 】 计算 :(1)(4 - i 5 )(6 + 2i 7 ) + (7 + i 11 )(4 - 3i); 分析 : 复数的运算顺序与实数的运算顺序相同 , 都是先进行高级运算 ( 乘方、开方 ), 再进行次级运算 ( 乘、除 ), 最后进行低级运算 ( 加、减 ) . 题型一 题型二 题型三 题型四 解 : (1) 原式 = (4 - i)(6 - 2i) + (7 - i)(4 - 3i) = 24 - 8i - 6i + 2i 2 + 28 - 21i - 4i + 3i 2 = (24 + 28 - 2 - 3) + ( - 8 - 6 - 21 - 4)i = 47 - 39i . 题型一 题型二 题型三 题型四 反思 (1)i n 具有周期性 , 且最小正周期为 4 . (2) 复数的除法与实数的除法有所不同 , 实数的除法可以直接化简 , 得出结论 , 但因为复数的除法分母为复数 , 一般不能直接约分化简 . 由于两个共轭复数的积是一个实数 , 因此两个复数相除 , 可以先把它们的商写成分式的形式 , 然后把分子、分母都乘以分母的共轭复数 , 并把结果化简即可 . (3) 对于复数的运算 , 除应用四则运算法则之外 , 对于一些简单的算式要知道其结果 , 这样计算过程就可以简化 , 达到快速、简捷、出错少的效果 . 比如下列结论 , 要记住 : 题型一 题型二 题型三 题型四 (4) 计算 ( a+b i) n ( a , b ∈ R ) 时 , 一般按乘法法则进行计算 , 对于复数 1 ± i, 计算它的 n ( n 为大于或等于 2 的自然数 ) 次方时 , 一般先计算 1 ± i 的平方 ; 对于 复数 计算它的 n ( n 为大于或等于 3 的自然数 ) 次方时 , 一般先计算它的立方 . 题型一 题型二 题型四 题型三 共轭复数的性质 分析 : 若 A , B 之中至少有一个为虚数 , 则不能比较大小 , 只有 A , B 全为实数方可比较大小 , 所以解题的关键是说明 A , B 是否全为实数 . 解 : 能 . 理由 : 由 z 1 , z 2 ∈ C , z 1 ≠ z 2 , 设 z 1 =a+b i, z 2 =c+d i( a , b , c , d ∈ R ) . ∴ B= ( a+b i)( a-b i) + ( c+d i)( c-d i) =a 2 +b 2 +c 2 +d 2 , ∴ B ∈ R . ∴ A ∈ R . ∴ A , B 可以比较大小 . 题型一 题型二 题型四 题型三 题型一 题型二 题型三 题型四 复数方程 题型一 题型二 题型三 题型四 ∴ | α - β | 2 =| ( α - β ) 2 |=| ( α + β ) 2 - 4 αβ |= 8 . 由根与系数的关系 , 得 α + β = 2, α · β =k , ∴ | 4 - 4 k|= 8, ∴ |k- 1 |= 2, 解得 k=- 1 或 k= 3 . 题型一 题型二 题型三 题型四   题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析 易错点 : 在求解很多复数问题时 , 往往因审题不细或忽视在复数集内的条件而将问题在实数范围内求解 , 从而导致错误 . 【例题 4 】 在复数集内解方程 : x 2 - 5 |x|+ 6 = 0 . 错解 : ∵ x 2 - 5 |x|+ 6 = 0, ∴ |x| 2 - 5 |x|+ 6 = 0 . ∴ |x|= 2 或 |x|= 3, ∴ x=± 2 或 x=± 3 . 错因分析 : 这里常出现将 |x| 看成 “ 绝对值 ” 的错误解法 . (1) 将方程变为 |x| 2 - 5 |x|+ 6 = 0 ⇒ |x|= 2 或 |x|= 3 ⇒ x=± 2 或 x=± 3 . (2) 将方程化 为 题型一 题型二 题型三 题型四 正解 : 设方程的根 x=a+b i( a , b ∈ R ), 原方程可化为 反思 |x| 是一个复数的模 , 它不等同于实数的绝对值 , x 2 也不能写成 |x| 2 . 1 2 3 4 1 复数 z 1 = 3 + i, z 2 = 1 - i, 则复 数 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案 : A 1 2 3 4 2 若复数 (1 +a i)(2 + i) = 3 - i, 则实数 a 的值为 ( 　　 ) A.1 B. - 1 C. ± 2 D. - 2 解析 : ∵ (1 +a i)(2 + i) = (2 -a ) + (2 a+ 1)i = 3 - i . 答案 : B 1 2 3 4 3 若 z= 1 - i, 则 ( 　　 ) A. z 2 - 2 z+ 2 = 0 B. z 2 - 2 z- 2 = 0 C.2 z 2 - 2 z+ 1 = 0 D.2 z 2 - 2 z- 1 = 0 解析 : 将 z= 1 - i 代入逐个验证 , z 2 - 2 z+ 2 = (1 - i) 2 - 2(1 - i) + 2 = 0, 故选 A . 答案 : A 1 2 3 4 ∴ a=- 2, b=- 1, ∴ a 2 +b 2 = ( - 2) 2 + ( - 1) 2 = 5 . 答案 : 5