7.5三角形的内角和定理（1）.ppt

证明命题的一般步骤 : 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法 . (1) 理解题意 : 分清命题的条件 ( 已知 ), 结论 ( 求证 ); (2) 根据题意 , 画出图形 ; (3) 结合图形 , 用符号语言写出“已知”和“求证” ; (4) 分析题意 , 探索证明思路 ; (5) 依据思路 , 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程 ; (6) 检查表达过程是否正确 , 完善 . 复习旧知 我们知道三角形三个内角的和等于 180 0 . 你还记得这个结论的探索过程吗 ? 1 1 2 A B D 2 3 C (1) 如图 , 当时我们是把∠ A 移到了∠ 1 的位置 ,∠B 移到了∠ 2 的位置 . 如果不实际移动∠ A 和∠ B, 那么你还有其它方法可以 达到同样的效果 ? (2) 根据前面的公理和定理 , 你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗 ? 你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗 ? 与同伴交流 . 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 0 . 情境导入 已知 : 如图 6-9,△ABC. 求证 :∠A+∠B+∠C=180 0 . 证明 : 作 BC 的延长线 CD, 过点 C 作 CE∥AB, 则 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗 ?. ∠ 1=∠A( 两直线平行 , 内错角相等 ), ∠ 2= ∠B( 两直线平行 , 同位角相等 ). 又∵∠ 1+∠2+∠3=180 0 ( 平角的定义 ), ∴ ∠ A+∠B+∠ACB=180 0 ( 等量代换 ). 分析 : 延长 BC 到 D, 过点 C 作射线 CE∥AB, 这样 , 就相当于把∠ A 移到了∠ 1 的位置 , 把∠ B 移到了∠ 2 的位置 . 这里的 CD,CE 称为辅助线 , 辅助线通常画成虚线 . A B C E 2 1 3 D 讲授新课 例 1 如图在△ ABC 中， ∠ ABC=38 ° , ∠ ACB=62 ° ,AD 平分 ∠ BAC ，求 ∠ ADB 的度数。 解： 在△ ABC 中， ∠B+∠C+∠BAC=180° ∵ ∠B=38°, ∠C=62° ∴ ∠BAC=80° ∵∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC=40° 在△ ABD 中， ∠B+∠BAD+∠ADB=180 ° ∵∠B=38°, ∠BAD=40° ∴∠ADB=102° A B C D 讲授新课 这节课你学习了什么知识？ 我学习了：如何利用三角形的内角和求角的度数 课堂小结 在证明三角形内角和定理时 , 小明的想法是把三个角“凑”到 A 处 , 他过点 A 作直线 PQ∥BC( 如图 ), 他的想法可以吗 ? 请你帮小明把想法化为实际行动 . 小明的想法已经变为现实 , 由此你受到什么启发 ? 你有新的证法吗 ? 证明 : 过点 A 作 PQ∥BC, 则 A B C ∠ 1=∠B( 两直线平行 , 内错角相等 ), ∠ 2=∠C( 两直线平行 , 内错角相等 ), 又∵∠ 1+∠2+ ∠3 =180 0 ( 平角的定义 ), ∴ ∠ BAC+∠B+ ∠C =180 0 ( 等量代换 ). 所作的辅助线是证明的一个重要组成部分 , 要在证明时首先叙述出来 . P Q 2 3 1 议一议 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 0 . △ABC 中 , ∠A+∠B+∠C=180 0 . ∠ A+∠B+∠C=180 0 的几种变形 : ∠A=180 0 –(∠B+∠C). ∠B=180 0 –(∠A+∠C). ∠C=180 0 –(∠A+∠B). ∠A+∠B=180 0 -∠C. ∠B+∠C=180 0 -∠A. ∠A+∠C=180 0 -∠B. 这里的结论 , 以后可以直接运用 . A B C 三角形内角和定理 1. 直角三角形的两锐角之和是多少度 ? 等边三角形的一个内角是多少度 ? 请证明你的结论 . 已知 : 如图在△ ABC 中， DE∥BC,∠A=60 0 , ∠C=70 0 . 求证： ∠ ADE=50 0 .. D C B A E A B C A B C 结论 : 直角三角形的两个锐角互余 . 以后可以直接运用 . 随堂练习 用运动变化的观点理解和认识数学 在△ ABC 中 , 如果 BC 不动 , 把点 A“ 压”向 BC, 那么当点 A 越来越接近 BC 时 , ∠A 就越来越大 ( 越来越接近 18 0 0 ), 而 ∠ B 和 ∠ C, 越来越小 ( 越来越接近 0 0 ). 由此你能想到什么 ? 如果 BC 不动 , 把点 A“ 拉离” BC, 那么当 A 越来越远离 BC 时 , ∠A 就越来越小 ( 越来越接近 0 0 ), 而∠ B 和∠ C 则越来越大 , 它们的和越来越接近 180 0 , 当把点 A 拉到无穷远时 , 便有 AB ∥AC, ∠B 和∠ C 成为同旁内角 , 它们的和等于 18 0 0 . 由此你能想到什么 ? C B A C B A 1 、如图，已知△ ABC 中， ∠ B 和∠ C 的平分线 BE ， CF 交点 O. 求证： ∠ BOC=90 °+ A B C E F O 随堂练习 2 、 如图，已知 AD 是△ ABD 和△ ACD 的公共边 . 求证： ∠ BDC=∠BAC+∠B+∠C A B C D 1 2 3 4 证法一： ∵在△ ABD 中 , ∠1 ＝ 180° －∠ B －∠ 3 ， 在△ ADC 中 , ∠2 ＝ 180° －∠ C －∠ 4 （三角形内角和定理）， 又∵∠ BDC ＝ 360° －∠ 1 －∠ 2 （周角定义） ∴∠ BDC ＝ 360° －（ 180° －∠ B －∠ 3 ）－（ 180° －∠ C －∠ 4 ） ＝ ∠ B+∠C+∠3+∠4. 又 ∵ ∠ BAC ＝ ∠ 3+∠4, ∴ ∠ BDC ＝ ∠ B+∠C+ ∠BAC （等量代换） （等量代换） 随堂练习 2 、 如图，已知 AD 是△ ABD 和△ ACD 的公共边 . 求证： ∠ BDC=∠BAC+∠B+∠C 证法二： A B C D 1 2 随堂练习 如图，已知∠ AMN+∠MNF+∠NFC=360° ， 求证： AB∥CD （用两种方法证明） D F N M B A C 随堂练习 习题 7.6 1,2,3 题 ; 作业 人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。 —— 列夫 · 托尔斯泰 结束语