人教版数学选修1-1《3.4生活中的优化问题举例》(1)课件.ppt

3 .4 生活中的优化问题举例（ 1 ） 生活中的优化问题举例 内容： 生活中的优化问题 应用 : 1. 海报版面尺寸的设计 2. 圆柱形饮料罐的容积为定值时 , 所用材料最省问题 3. 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响 本课主要学习 生活中的优化问题 。以生活中的实际问题引入新课。 本节课设计从易到难，由浅入深地发现身边的“数学”，特别是对采用一题多解，一题多变的变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。 遵循“提出问题----分析问题----解决问题”的思维过程，注重引导学生，了解背景、思考推理、数学建模等活动。本课给出 3 个例题和变式，通过解决这些问题，培养学生数学建模的能力。 采用例题与变式结合的方法，通过例 1 探讨 如何设计海报的尺寸，使空白面积最小 ； 例 2 是饮料罐的容积为定值时 , 如何确定它的高与底半径 , 使得所用材料最省；例 3 是 饮料的利润最大 问题．通过这些问题的解决，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力. 问题 1 : 学校宣传海报比赛，要求版心面积 128dm 左右边距 1dm 上下边距 2dm ，请问你将如何设计？ 版心 规格（ L ） 2 1.25 0.6 价格（元） 5.1 4.5 2.5 问题 2 ：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则 （ 1 ）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （ 2 ）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题 . 运用什么知识解决优化问题 一般地，若函数 y=f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的图象是一条连续不断的 曲线，则求 f ( x ) 的最值的步骤是： （ 1 ）求 y=f ( x ) 在 [ a ， b ] 内的极值 ( 极大值与极小值 ) ； （ 2 ）将函数的各极值与端点处的函数值 f ( a ) 、 f ( b ) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 . 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。 y o a x 1 x 2 x 3 x 4 b x 例 1 ：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 3.4-1 所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm 2 ，上、下两边各空 2dm ，左、右两边各空 1dm ，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 图 3.4-1 分析：已知版心的面积，你会如何建立函数关系表示海报四周的面积呢？ 你还有其他方法求这个最值吗？ 因此， x=16 是函数 S(x) 的极小值，也是最小值点。所以， 当版心高为 16dm ，宽为 8dm 时，能使四周空白面积最小。 解法二 ： 由解法 ( 一 ) 得 2. 在实际应用题目中，若函数 f(x) 在定义域内只有一个极值点 x 0 ， 则不需与端点比较， f(x 0 ) 即是所求的最大值或最小值 . 1. 设出变量找出函数关系式； ( 所说区间的也适用于开区间或无穷区间 ) 确定出定义域； 所得结果符合问题的实际意义。 练习 1. 一条长为 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形， 要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 则两个正方形面积和为 解：设两段铁丝的长度分别为 x , l - x , 其中 0< x < l, 由问题的实际意义可知： 例 2 : 某种圆柱形的饮料罐的容积为定值 V 时 , 如何确定它的高与底半径 , 使得所用材料最省 ? R h 解 : 设圆柱的高为 h, 底面半径为 R. 则表面积为 又 ( 定值 ), 即 h=2R. 可以判断 S(R) 只有一个极值点 , 且是最小值点 . 答 ：罐高与底的直径相等时 , 所用材料最省 . 变式： 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗 ? 你是否注意过 , 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 ? 你想从数学上知道它的道理吗 ? 是不是饮料瓶越大 , 饮料公司的利润越大 ? 规格（ L ） 2 1.25 0.6 价格（元） 5.1 4.5 2.5 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则 （ 1 ）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （ 2 ）对制造商而言，哪一种的利润更大？ 例 3 ： 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8p r 2 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售 1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm ， （ 1 ） 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （ 2 ）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ r (0 ， 2) 2 (2 ， 6] f ' ( r ) 0 f ( r ) - + 减函数↘ 增函数↗ -1.07 p 解：由于瓶子的半径为 r ，所以每瓶饮料的利润是 当半径 r ＞２ 时， f ’(r)>0 它表示 f(r) 单调递增， 即半径越大，利润越高； 当半径 r ＜２ 时 ， f ’(r)