人教A版高中数学选修2-1《2.4.1抛物线及其标准方程》课件.pptx

第二章　 §2.4　 抛物线 2.4.1 　抛物线及其标准方程 学习目标 1. 掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念 . 2 . 掌握抛物线的标准方程及其推导 . 3 . 明确抛物线标准方程中 p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题 . 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一　抛物线的定义 思考 1 　 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？ 连接两定点所得线段的垂直平分线 . 答案 思考 2 　 平面内 ，到两个确定平行直线 l 1 ， l 2 距离相等的点的轨迹是什么？ 一条直线 . 答案 思考 3 　 到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是什么？ 抛物线 . 答案 梳理 (1) 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F ) 距离 的 点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线 的 ， 直线 l 叫做抛物线 的 . (2) 定义的实质可归纳为 “ 一动三定 ” ：一个动点，设为 M ；一个定点 F ( 抛物线的焦点 ) ；一条定直线 ( 抛物线的准线 ) ；一个定值 ( 即点 M 到点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比等于 1 ∶ 1). 准线 相等 焦点 知识点二　抛物线的标准方程 思考 　 抛物线的标准方程有何特点？ (1) 以方程的解为坐标的点在抛物线上 ； ( 2) 对称轴为坐标轴 ； ( 3) p 为大于 0 的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离 ； ( 4) 准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称 ； ( 5) 焦点、准线到原点的距离都 等于 . 答案 梳理 由 于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式： y 2 ＝ 2 px ( p >0) ， y 2 ＝－ 2 px ( p >0) ， x 2 ＝ 2 py ( p >0) ， x 2 ＝－ 2 py ( p >0). 现将这四种抛物线对应的图形 、 标准方程 、 焦点坐标及准线方程列表如下 ： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y 2 ＝ 2 px ( p >0) y 2 ＝－ 2 px ( p >0) x 2 ＝ 2 py ( p >0) x 2 ＝－ 2 py ( p >0) 题型探究 类型一　抛物线的定义及理解 设 动点 M ( x ， y ) ，上式可看作动点 M 到原点的距离等于动点 M 到直线 3 x ＋ 4 y － 12 ＝ 0 的距离，所以动点 M 的轨迹是以原点为焦点，以直线 3 x ＋ 4 y － 12 ＝ 0 为准线的抛物线 . A. 椭圆 B . 双曲线 C . 抛物线 D . 以上都不对 答案 解析 设 动点 Q ( x ′ ， y ′ ) ，则有 x ′ ＝ x ＋ y ， y ′ ＝ xy ，又有 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 ，即 ( x ＋ y ) 2 － 2 xy ＝ 1 ，所以 x ′ 2 － 2 y ′ ＝ 1 ，故 Q ( x ＋ y ， xy ) 的轨迹所在的曲线是抛物线 . (2) 已知点 P ( x ， y ) 在以原点为圆心的单位圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 1 上运动 ， 则点 Q ( x ＋ y ， xy ) 的轨迹所在的曲线是 _______.( 在圆、抛物线、椭圆、双曲线中选择一个作答 ) 答案 解析 抛物线 抛物线的判断方法 (1) 可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线 ( 直线不过定点 ) 的距离 . (2) 求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程 . 反思与感悟 跟踪训练 1 　平面上动点 P 到定点 F (1 ， 0) 的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1 ，求动点 P 的轨迹方程 . 解答 方法一　设点 P 的坐标为 ( x ， y ) ， 两边平方并化简得 y 2 ＝ 2 x ＋ 2| x |. 方法二　由题意，动点 P 到定点 F (1 ， 0) 的距离比到 y 轴的距离大 1 ， 由于点 F (1 ， 0) 到 y 轴的距离为 1 ， 故当 x 0) ， 抛物线的焦点坐标为 ( － 2 ， 0) ，准线方程为 x ＝ 2 . 跟踪训练 3 　已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 M ( － 3 ， m ) 到焦点的距离等于 5 ，求抛物线的方程和 m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程 . 解答 类型三　抛物线在实际生活中的应用 例 4 　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5 m 时，水面宽为 8 m ，一小船宽 4 m 、高 2 m ，载货后船露出水面上的部分高 0.75 m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ 解答 反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解 . 跟踪训练 4 　喷灌的喷头装在直立管柱 OA 的顶点 A 处，喷出水流的最高 点 B 高 5 m ，且与 OA 所在的直线相距 4 m ，水流落在以 O 为圆心，半径为 9 m 的圆上，则管柱 OA 的长是多少？ 解答 如 图所示 ， 建立直角坐标系 ， 设水流所形成的抛物线的方程为 x 2 ＝ － 2 py ( p >0 ) ， 因为点 C (5 ，－ 5) 在抛物线上，所以 25 ＝－ 2 p ·( － 5) ，因此 2 p ＝ 5 ，所以抛物线的方程为 x 2 ＝－ 5 y ，点 A ( － 4 ， y 0 ) 在抛物线上 ， 所以管柱 OA 的长为 1.8 m . 当堂训练 答案 解析 A. y ＝－ 1 B. y ＝－ 2 C. x ＝－ 1 D. x ＝－ 2 √ 2 3 4 5 1 2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 P ( m ，－ 2) 到焦点的距离为 4 ，则 m 的值为 A.4 B . － 2 C.4 或－ 4 D.12 或－ 2 由题可设抛物线的标准方程为 x 2 ＝－ 2 py ( p >0) ，由定义知点 P 到准线的 距 离 为 4 ， 故 ＋ 2 ＝ 4 ， ∴ p ＝ 4 ， ∴ x 2 ＝－ 8 y . 将点 P 的坐标代入 x 2 ＝－ 8 y ， 得 m ＝ ±4. 答案 解析 √ 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线 上 的 动点到焦点的最短距离为顶点到 准线的 距离， 即 ＝ 1 ， p ＝ 2 . 3. 若抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ， 则 p ＝ ___. 2 答案 解析 4. 若抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p >0) 的准线经过双曲线 x 2 － y 2 ＝ 1 的一个焦点，则 p ＝ _____. 2 3 4 5 1 答案 解析 5. 已知 M 为抛物线 y 2 ＝ 4 x 上一动点， F 为抛物线的焦点，定点 N (2 ， 3) ，则 | MN | ＋ | MF | 的最小值为 _____. 答案 解析 2 3 4 5 1 规律与方法 3. 对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题 .