北师大版九年级下《2.2.4二次函数y=a(xh)2+k的图象与性质》课件.pptx

第二章 二次函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 4 课时 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 的图象与性质 2.2 二次函数的图象和性质 学习目标 1. 会用描点法画出 y = a ( x - h ) 2 + k ( a ≠0) 的图象 . 2. 掌握二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k ( a ≠0) 的图象的性质并会应用 .( 重点） 3 . 理解二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k ( a ≠0) 与 y = ax 2 ( a ≠0) 之间的联系 . （难点） 导入新课 复习引入 1. 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况: ( 1) y = ax 2 ( 2) y = ax 2 + c ( 3) y = a ( x - h ) 2 y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 2. 请说出二次函数y=-2x 2 的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？ 3. 把y=-2x 2 的图象 向上平移3个单位 y=-2x 2 +3 向左平移2个单位 y=-2(x+2) 2 4. 请猜测一下，二次函数y=-2(x+2) 2 +3的图象是否可以由y=-2x 2 平移得到？学完本课时你就会明白 . 讲授新课 二次函数 y = a （ x - h ） 2 + k 的图象和性质 一 1. 画出函数 的图象 . 指出它的开口方向、顶点、对称轴与增减性 . 合作探究 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 先列表 再描点、连线 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线 x = － 1 开口方向向下； 对称轴是直线 x =-1 ; 顶点坐标是 (-1,-1); x ＜ -1 时， y 随 x 的增大而增大； x ＞ -1 时， y 随 x 的增大而减小 . 试一试 2. 画出函数 y = 2 （ x +1 ） 2 -2 图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点及增减性 . 开口方向向上； 对称轴是直线 x =-1 ; 顶点坐标是 (-1,-2); x ＜ -1 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ -1 时， y 随 x 的增大而增大 . -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 二次函数 y = a ( x-h ) 2 + k 的性质 y = a ( x-h ) 2 + k a ＞ 0 a ＜ 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 要点归纳 向上 向下 直线 x=h 直线 x=h （ h , k ） （ h , k ） 当 x = h 时， y 最小值 = k 当 x = h 时， y 最大值 = k 当 x ＜ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＞ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 当 x ＞ h 时， y 随 x 的增大而减小； x ＜ h 时， y 随 x 的增大而增大 . 顶点式 例 1. 已知二次函数 y ＝ a ( x － 1) 2 － c 的图象如图所示，则一次函数 y ＝ ax ＋ c 的大致图象可能是 ( 　　 ) 解析：根据二次函数开口向上则 a ＞ 0 ，根据－ c 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 c ＞ 0 ，故一次函数 y ＝ ax ＋ c 的大致图象经过第一、二、三象限．故选 A. 典例精析 A 例 2. 已知二次函数 y ＝ a ( x －1) 2 －4的图象经过点(3，0)． (1)求 a 的值； (2)若 A ( m ， y 1 )、 B ( m ＋ n ， y 2 )( n ＞0)是该函数图象上的两点，当 y 1 ＝ y 2 时，求 m 、 n 之间的数量关系． 解： (1) 将 (3 ， 0) 代入 y ＝ a ( x － 1) 2 － 4 ， 得 0 ＝ 4 a － 4 ，解得 a ＝ 1 ； (2) 方法一： 根据题意，得 y 1 ＝ ( m － 1) 2 － 4 ， y 2 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 － 4 ， ∵ y 1 ＝ y 2 ， ∴( m － 1) 2 － 4 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 － 4 ，即 ( m － 1) 2 ＝ ( m ＋ n － 1) 2 . ∵ n ＞ 0 ， ∴ m － 1 ＝－ ( m ＋ n － 1) ，化简，得 2 m ＋ n ＝ 2 ； 方法二： ∵ 函数 y ＝ ( x － 1) 2 － 4 的图象的对称轴是经过点 (1 ，－ 4) ，且平行于 y 轴的直线， ∴ m ＋ n － 1 ＝ 1 － m ，化简，得 2 m ＋ n ＝ 2. 向左平移 1 个单位 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 与 y = ax 2 的关系 二 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 合作探究 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法 1 向下平移 1 个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法 2 向左平移 1 个单位 向下平移 1 个单位 要点归纳 二次函数 y = ax 2 与 y = a （ x - h ) 2 + k 的关系 可以看作互相平移得到的 ( h >0 ， k >0 ). y = ax 2 y = ax 2 + k y = a ( x - h ) 2 y = a ( x - h ) 2 + k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减 . 二次项系数 a 不变 . 1. 请回答抛物线 y = 4( x － 3) 2 ＋ 7 由抛物线 y =4 x 2 怎样平移得到 ? 由抛物线向上平移 7 个单位再向右平移 3 个单位得到的 . 2. 如果一条抛物线的形状与 形状相同，且顶点坐标是 （ 4 ， -2 ）， 试求这个函数关系式 . 练一练 当堂练习 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y =2( x +3) 2 +5 向上 ( 1, － 2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , － 6 ) 向上 直线 x = － 3 直线 x =1 直线 x =3 直线 x =2 ( － 3, 5 ) y = － 3( x － 1) 2 － 2 y = 4( x － 3) 2 ＋ 7 y= － 5(2 － x ) 2 － 6 1. 完成下列表格 : 2. 抛物线y=-3x 2 +2的图象向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线的解析式为 ______________ 3. 抛物线y=2x 2 不动，把x轴、y轴分别向上、向左平移3个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为 __________________ ． y=2（x-3） 2 -3 4. 已知 y ＝ ( x － 3) 2 － 2 的部分图象如图所示，抛物线与 x 轴交点的一个坐标是 (1 ， 0) ，则另一个交点的坐标是 ________ ． 解析：由抛物线的对称性知，对称轴为 x ＝ 3 ，一个交点坐标是 (1 ， 0) ， 则另一个交点坐标是 (5 ， 0) ． (5 ， 0) 5. 对于抛物线y=- (x−2） 2 +6，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=2；③顶点坐标为（2，6）；④当x＞2时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 6. 已知点A（x 1 ，y 1 ）、B（x 2 ，y 2 ）在二次函数 y=-（x-1） 2 +1的图象上，若-1＜x 1 ＜0，3＜x 2 ＜4，则y 1 _____ y 2 （填“＞”、“＜”或“=”）． ＞ 解析：抛物线y=-（x-1） 2 +1的对称轴为直线x=1， ∵a=-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x 1 ＜0，3＜x 2 ＜4， ∴y 1 ＞y 2 ． 7. 抛物线 与 x 轴交于 B , C 两点，顶点为 A ，则△ ABC 的周长为（ ） A . B . C .12 D . B 8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y ＝ x 2 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y ＝ ( x － h ) 2 ＋ k . 所得抛物线与 x 轴交于 A ， B 两点 ( 点 A 在点 B 的左边 ) ，与 y 轴交于点 C ，顶点为 D . (1) 求 h ， k 的值； 解： (1)∵ 将抛物线 y ＝ x 2 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y ＝ ( x ＋ 1) 2 － 4 ， ∴ h ＝－ 1 ， k ＝－ 4 ； (2) 判断 △ ACD 的形状，并说明理由． (2)△ ACD 为直角三角形． 理由如下：由 (1) 得 y ＝ ( x ＋ 1) 2 － 4. 当 y ＝ 0 时， ( x ＋ 1) 2 － 4 ＝ 0 ， x ＝－ 3 或 x ＝ 1 ， ∴ A ( － 3 ， 0) ， B (1 ， 0) ． 当 x ＝ 0 时， y ＝ ( x ＋ 1) 2 － 4 ＝ (0 ＋ 1) 2 － 4 ＝－ 3 ， ∴ C 点坐标为 (0 ，－ 3) ． 顶点坐标为 D ( － 1 ，－ 4) ． 作出抛物线的对称轴 x ＝－ 1 交 x 轴于点 E ，过 D 作 DF ⊥ y 轴于点 F ，如图所示． 在 Rt△ AED 中， AD 2 ＝ 2 2 ＋ 4 2 ＝ 20 ； 在 Rt△ AOC 中， AC 2 ＝ 3 2 ＋ 3 2 ＝ 18 ； 在 Rt△ CFD 中， CD 2 ＝ 1 2 ＋ 1 2 ＝ 2. ∵ AC 2 ＋ CD 2 ＝ AD 2 ， ∴△ ACD 是直角三角形． 课堂小结 一般地，抛物线 y = a ( x - h ) 2 + k 与 y = ax 2 形状相同，位置不同 . 二次函数 y = a ( x - h ) 2 + k 的图象和性质 图象特点 当 a >0 , 开口向上；当 a