第七章 第三节.ppt

第三节　图形的相似与位似 知识点一 比例线段及其性质 1 ．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段 AB ， CD 的长度分别是 m ， n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即 AB∶CD ＝ m∶n . 2 ．比例线段：四条线段 a ， b ， c ， d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a ， b ， c ， d 叫做 成比例线段，简称比例线段． ad ＝ bc 4 ．平行线分线段成比例 (1) 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． (2) 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 5 ．黄金分割：一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(AC>BC) ，如果 _________ ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分 割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金 比，黄金比为 ___________ ． 知识点 二 相似多边形 1 ．相似多边形：各角分别 _____ 、各边 _______ 的两个多边 形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做 _______ ． 2 ．相似多边形的性质 (1) 相似多边形的对应角相等，对应边的比等于相似比； (2) 相似多边形的周长比等于 _______ ，面积比等于 ______ _________ ． 相等 成比例 相似比 相似比 相似 比的平方 知识点三 相似三角形 1 ．相似三角形：三角分别 _______ 、三边 _______ 的两个 三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似 比． 相等 成比例 2 ．相似三角形的判定定理 (1) 两角分别 _______ 的两个三角形相似； (2) 两边 _______ 且夹角 _____ 的两个三角形相似； (3) 三边 _______ 的两个三角形相似． 相等 成比例 相等 成比例 3 ．相似三角形的性质 (1) 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中 线的比都等于 _______ ； (2) 相似三角形的周长比等于 _______ ，面积比等于 _____ _________. 相似比 相似比 相似 比的平方 常见的相似三角形的基本类型有以下几类： 注：对于 5. 双垂图有：① AB 2 ＝ BD·BC ；② AC 2 ＝ CD·BC ； ③ AD 2 ＝ BD·CD. 对于 6. 拓展型仅有 AC 2 ＝ CD·BC. 知识点 四 图形的位似 1 ．位似多边形：一般地，如果两个相似多边形任意一组 对应顶点 P ， P′ 所在的直线都经过同一点 O ，且有 OP′ ＝ k·OP(k≠0) ，那么这样的两个多边形叫做位似多边形， 点 O 叫做 _________ ． k 就是这两个相似多边形的 _______ ． 位似中心 相似比 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图 形．位似中心的位置确定方法是对应点连线的交点，可 能在图形外也可能在图形内或图形上． 2 ．位似图形的性质 (1) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等 于 _______ ； (2) 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐 标、纵坐标都乘同一个数 k(k≠0) ，所对应的图形与原图 形 _____ ，位似中心是 _________ ，它们的相似比为 ____. 相似比 位似 坐标原点 |k| 考点一 平行线分线段成比例 (5 年 0 考 ) 例 1 如图， l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ，直线 a ， b 与 l 1 ， l 2 ， l 3 分别相交于点 A ， B ， C 和点 D ， E ， F. 若 ， DE ＝ 4 ，则 EF 的长是 ( 　　 ) 【 分析 】 【 自主解答 】 1 ．如图，△ ABC 中，点 D ， E 分别在边 AB ， BC 上， DE∥AC. 若 BD ＝ 4 ， DA ＝ 2 ， BE ＝ 3 ，则 EC ＝ _____ ． 2 ． (2017· 临沂 ) 已知 AB∥CD ， AD 与 BC 相交于点 O. 若 AD ＝ 10 ，则 AO ＝ ____ ． 4 考点二 相似三角形的性质与判定 (5 年 3 考 ) 例 2 如图，在△ ABC 中， BD ， CE 分别是 AC ， AB 上的中线， BD 与 CE 相交于点 O ，则 ＝ . 【 分析 】 先判定△ ODE∽△OBC ，再利用相似三角形的 性质解答即可． 【 自主解答 】 ∵BD ， CE 分别是边 AC ， AB 上的中线， ∴ DE∥BC ， DE ＝ BC ， ∴∠ DEO ＝∠ BCO ，∠ EDO ＝∠ CBO ， ∴△ ODE∽△OBC ， ∴ ＝ 2. 故答案为 2. 讲： 判定两个三角形相似的误区 在利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似时，一定要确保成比例的两边所夹角为相等角，这是最易触雷的地方． 练：链接变式训练 3 3 ．如图，△ ACD 和△ ABC 相似需具备的条件是 ( ) C 4 ． (2017· 连云港 ) 如图，已知△ ABC∽△DEF ， AB∶DE ＝ 1∶2 ，则下列等式一定成立的是 ( ) D 5 ． (2017· 杭州 ) 如图，在 Rt △ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ， AB ＝ 15 ， AC ＝ 20 ，点 D 在边 AC 上， AD ＝ 5 ， DE⊥BC 于点 E ，连接 AE ，则△ ABE 的面积等于 _____ ． 78 考点 三 图形的位似 (5 年 0 考 ) 例 3 如图，线段 CD 两个端点的坐标分别为 C(1 ， 2) ， D (2 ， 0) ，以原点为位似中心，将线段 CD 放大得到线段 AB. 若点 B 的坐标为 (5 ， 0) ，则点 A 的坐标为 ． 【 分析 】 根据题意得到 B 点与 D 点是对应点，根据 B 点与 D 点的坐标求出位似比，根据位似变换的性质计算即可． 【 自主解答 】 由题意知 B 点与 D 点是对应点， 又∵点 D(2 ， 0) ，点 B(5 ， 0) ，∴位似比为 5∶2. ∵C(1 ， 2) ，∴点 A(2.5 ， 5) ．故答案为 (2.5 ， 5) ． 讲： 确定位似图形的位置 解答此类问题时，先确定点的坐标及相似比，再分别把 横、纵坐标与相似比相乘即可．注意原图形与位似图形 是同侧还是异侧，来确定所乘的相似比的正负，这是最 易出错的地方． 练：链接变式训练 7 6 ．如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 A ， B ， E 在 x 轴上．若正方形 BEFG 的边长为 6 ，则 C 点的坐标为 ( ) A ． (3 ， 2) B ． (3 ， 1) C ． (2 ， 2) D ． (4 ， 2) A 7 ． (2017· 烟台 ) 如图，在直角坐标系中，每个小方格的边 长均为 1.△AOB 与△ A′OB′ 是以原点 O 为位似中心的位似图 形，且相似比为 3∶2 ，点 A ， B 都在格点上，则点 B′ 的坐标 是 ______ ．