人教A版选修2-3《2.2.2事件的相互独立性》课件（共37张ppt）.ppt

一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 1.6 独立性 四、小结 一、事件的相互独立性 ( 一 ) 两个事件的独立性 由 条件概率，知 一般地， 这 意味着：事件 B 的发生对事件 A 发生的概率有影响 . 然而，在有些情形下又会出现： 则有 引例 2. 定义 注 . 1 º 说明 事件 A 与 B 相互独立 , 是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关 . 2 º 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念 . 两事件相互独立 两事件互斥 例如 二者之间没 有必然联系 独立是事件间的概率属性 互斥是事件间本身的关系 1 1 由此可见 两事件 相互独立 但两事件 不互斥 . 两事件 相互独立 两事件 互斥 . 可以证明： 特殊地， A 与 B 独立  A 与 B 相容 ( 不互斥 ) 或 A 与 B 互斥  A 与 B 不独立 证 若 A 与 B 独立 , 则 即 A 与 B 不互斥 ( 相容 ). 若 A 与 B 互斥，则 AB =  B 发生时， A 一定不发生 . 这表明 : B 的发生会影响 A 发生的可能性 ( 造成 A 不发生 ), 即 B 的发生造成 A 发生的概率为零 . 所以 A 与 B 不独立 . 理解 :  B A 3. 性质 1.5 (1) 必然事件  及不可能事件与任何事件 A 相互独立 . 证 ∵ A=A, P()=1 ∴ P( A) = P(A)=1 • P(A)= P() P(A) 即 与 A 独立 . ∵  A=  , P(  )=0 ∴ P(  A) = P(  )=0= P(  ) P(A) 即 与 A 独立 . (2) 若事件 A 与 B 相互独立 , 则以下三对事件 也 相互独立 . ① ② ③ 证 ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭 . 又 ∵ A 与 B 相互独立 ③ 例 1 分别掷两枚均匀的硬币，令 A ={ 硬币甲出现正面 H } ， B ={ 硬币乙出现反面 T } ，试验证 A 、 B 相互独立． 解 样本空间  ={ HH , HT , TH , TT } 共含有 4 个基本事件，它们发生的概率均为 1/4 ．而 A ={ HH , HT } ， B ={ HT , TT } ， AB ={ HT } ，故有 P ( A )= P ( B )=1/2 ， P ( AB )=1/4 ， P ( AB )= P ( A ) P ( B ) ， 所以 A 、 B 相互独立． 甲 , 乙两人 同时 向敌人炮击 , 已知甲击中敌机的概率为 0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率 . 解 设 A ={ 甲击中敌机 } B ={ 乙击中敌机 } C ={ 敌机被击中 } 依 题设 , ∴ A 与 B 不互斥 ( P ( A )+ P ( B )=1.1>1 ≥ P ( A + B ) ) 由于 甲，乙 同时 射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以 A 与 B 独立 , 进而 = 0.8 1. 三事件 两两 相互独立的概念 ( 二 ) 多个事件的独立性 定义 2. 三事件相互独立的概念 定义 设 A 1 ， A 2 ， … ， A n 为 n 个事件 ， 若对于任意 k (1≤ k ≤ n ), 及 1 ≤ i 1 < i 2 < ··· < i k ≤ n 3. n 个事件的独立性 定义 若事件 A 1 ， A 2 ， … ， A n 中任意两个事件相互独立，即对于一切 1 ≤ i< j ≤ n, 有 定义 例 3 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A={ 一个家庭中有男孩，又有女孩 } ， B={ 一个家庭中最多有一个女孩 } 对下列两种情形讨论 A 与 B 的独立性； （ 1 ）家庭中有两个小孩；（ 2 ）家庭中有三个小孩。 A={( 男，女），（女，男） } 解（ 1 ）有两个小孩的家庭时的样本空间有 4 个基本事件 , 其概率各为 1/4, 此时 B={( 男，男 )( 男，女 )( 女，男 )} AB={( 男，女 )( 女，男 )} P(A)=1/2,P(B)=3/4,P(AB)=1/2 则事件 A,B 不独立， （ 2 ）类似可求，但有 P(AB)=P(A)P(B) 成立， 则 A 与 B 相互独立。 注 . 设 一个口袋里装有四张形状相同的卡片 . 在这四张卡片上依次标有下列各组数字： 110 ， 101 ， 011 ， 000 从袋中任取一张卡片，记 证明： 练 证 (1) 110 ， 101 ， 011 ， 000 两个结论 n 个独立事件和的概率公式 : 设 事件 相互独立 , 则 也相互独立 即 n 个独立事件至少有一个发生的概率等于 1 减去各自对立事件概率的乘积 . 结论的应用 则 “ 至少有一个发生 ” 的概率为 P ( A 1  …  A n ) = 1- (1- p 1 ) …(1- p n ) 若设 n 个独立事件 发生的概率 分别为 类似可以得出： 至少有一个不发生 ” 的概率为 “ =1 - p 1 … p n 例 4 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合 100 个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率 . 解 则 依题设， 事件的独立性在 可靠性理论 中的应用： 一个元件的可靠性 ： 该元件正常工作的概率 . 一个系统的可靠性 ： 由 元件组成的系统正常工作的概率 . 例 5 设一个系统由 2 n 个元件组成，每个元件的可靠性均为 r ， 且各元件能否正常工作是相互独立的 . (1) 求 下列两个系统 Ⅰ 和 Ⅱ 的可靠性； (2) 问：哪个系统的可靠性更大？ 系统 Ⅰ. 系统 Ⅱ. 解 设 B 1 ={ 系统 Ⅰ 正常工作 } ① ② … n+2 2n n+1 … 1 2 n … n+2 2n n+1 1 2 n B 2 ={ 系统 Ⅱ 正常工作 } 考察系统 Ⅰ ： 设 C ={ 通路 ① 正常工作 } ， D={ 通路 ② 正常工作 } ∵ 每条通路正常工作 通路上各元件都正常工作 而 系统 Ⅰ 正常工作 两条通路中 至少 有一条正常工作 ∴ 系统 Ⅰ 正常工作的概率： 考察系统 Ⅱ ： 系统 Ⅱ 正常工作 通路上的每对并联元件正常工作 B 2 ={ 系统 Ⅱ 正常工作 } 所以，系统 Ⅱ 正常工作的概率： (2) 问：哪个系统的可靠性更大？ 即系统 Ⅱ 的可靠性比系统 Ⅰ 的大 . 推导如下： 三、内容小结 作业： P56 37;43(3,4) 备用题 伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体 , 其第一面染成红色 , 第二面染成白色 , 第三面染成黑色 , 而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色 . 现以 A , B , C 分别 记投一次四面体出现红 , 白 , 黑颜色朝下的事件 , 问 A , B , C 是否相互独立 ? 解 由于在四面体中红 , 白 , 黑分别出现两面 , 因此 又由题意知 例 2-1 故有 因此 A 、 B 、 C 不相互独立 . 则三事件 A , B , C 两两独立 . 由于