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第三章　函　数 第一节　平面直角坐标系与函数 知识点一 平面直角坐标系 1 ．定义：在平面内画两条互相 _____ 、 _________ 的 数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为 x 轴或横轴， 竖直的数轴称为 y 轴或纵轴． 垂直 原点重合 2 ．有序数对：有顺序的两个数 a 与 b 组成的数对，叫做有 序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是 _____ 对 应的．经一点 P 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足在 x 轴、 y 轴上 对应的数 a ， b 分别叫做点 P 的横坐标和纵坐标．有序实数对 (a ， b) 叫做点 P 的坐标． 一一 3 ．各象限内点的坐标特征 (1) 若点 P(a ， b) 在第一象限，则 a>0 ， b>0 ； (2) 若点 P(a ， b) 在第二象限，则 a __ 0 ， b __ 0 ； (3) 若点 P(a ， b) 在第三象限，则 a __ 0 ， b __ 0 ； (4) 若点 P(a ， b) 在第四象限，则 a __ 0 ， b __ 0. < > < < > < 4 ．与坐标轴有关的点的坐标特征 (1) 若点 P(a ， b) 在 x 轴上，则 b ＝ 0 ； (2) 若点 P(a ， b) 在 y 轴上，则 a ＝ 0 ； (3) 若点 P(a ， b) 是原点，则 a ＝ 0 且 b ＝ 0 ； (4) 若多个点在平行于 x 轴的直线上，则 _______ 相同， _______ 不同； (5) 若多个点在平行于 y 轴的直线上，则 _______ 相同， _______ 不同． 纵坐标 横坐标 横坐标 纵坐标 5 ．对称点的坐标特征 (1) 点 P(a ， b) 关于 x 轴对称点 P 1 的坐标为 _________ ； (2) 点 P(a ， b) 关于 y 轴对称点 P 2 的坐标为 _________ ； (3) 点 P(a ， b) 关于原点对称点 P 3 的坐标 ___________ ． (a ，－ b) ( － a ， b) ( － a ，－ b) 知识点二 函数及其相关概念 1 ．常量与变量：数值发生变化的量叫做变量，数值始终 不变的量叫做常量． 2 ．函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y ，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有 _____ 确定的 值与其对应，那么我们就说 x 是自变量， y 是 x 的函数． 唯一 3 ．自变量取值范围的确定 (1) 函数是整式型，自变量取全体实数． (2) 函数是分式型，自变量取值使分母不为 0 的全体实数． (3) 函数是二次根式型，自变量取值使被开方数≥ 0 的实数． (4) 函数是分式、二次根式结合型，取两者的公共部分． (5) 实际问题中，自变量的取值范围还要符合实际意义． 4 ．函数的三种常见表示方法： _________ 、 _______ 、 _______ ，这三种方法有时可以互相转化． 解析式法 列表法 图象法 5 ．函数的图象 (1) 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对 对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些 点组成的图形，就是这个函数的图象． (2) 画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线． 画函数图象时，一次函数用直线，反比例函数和二次函 数要用平滑的曲线． 考点一 平面直角坐标系中点的坐标特征 (5 年 0 考 ) (2017· 贵港 ) 在平面直角坐标系中，点 P(m － 3 ， 4 － 2m) 不可能在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【 分析 】 分点 P 的横坐标是正数和负数两种情况讨论 求解． 【 自主解答 】 当 m － 3 ＞ 0 ，即 m ＞ 3 时，－ 2m ＜－ 6 ， 4 － 2m ＜－ 2 ，所以点 P(m － 3 ， 4 － 2m) 在第四象限； 当 m － 3 ＜ 0 ，即 m ＜ 3 时，－ 2m ＞－ 6 ， 4 － 2m ＞－ 2 ， 所以点 P(m － 3 ， 4 － 2m) 可以在第二、三象限． 综上所述，点 P 不可能在第一象限．故选 A. 解答此类问题，关键是熟记各象限点的坐标特征：第一象 限的符号为 ( ＋，＋ ) ，第二象限的符号为 ( －，＋ ) ，第三 象限的符号为 ( －，－ ) ，第四象限的符号为 ( ＋，－ ) ． 1 ． (2017· 河北模拟 ) 已知点 P(x ＋ 3 ， x － 4) 在 x 轴上， 则 x 的值为 ( ) A ． 3 B ．－ 3 C ．－ 4 D ． 4 D 2 ． (2017· 长安区二模 ) 如图，正五边形 ABCDE 放入某 平面直角坐标系后，若顶点 A ， B ， C ， D 的坐标分别是 (0 ， a) ， ( － 3 ， 2) ， (b ， m) ， (c ， m) ，则点 E 的坐标 是 ( ) A ． (2 ，－ 3) B ． (2 ， 3) C ． (3 ， 2) D ． (3 ，－ 2) C 考点二 点的对称与平移 (5 年 0 考 ) (2017· 西宁 ) 在平面直角坐标系中，将点 A( － 1 ， － 2) 向右平移 3 个单位长度得到点 B ，则点 B 关于 x 轴的对 称点 B′ 的坐标为 ( ) A ． ( － 3 ，－ 2) B ． (2 ， 2) C ． ( － 2 ， 2) D ． (2 ，－ 2) 【 分析 】 首先根据横坐标右移加，左移减可得 B 点坐标， 然后再根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐 标符号改变可得答案． 【 自主解答 】 点 A( － 1 ，－ 2) 向右平移 3 个单位长度得到 点 B 的坐标为 ( － 1 ＋ 3 ，－ 2) ，即 (2 ，－ 2) ，则点 B 关于 x 轴 的对称点 B′ 的坐标是 (2 ， 2) ，故选 B. 对称点的坐标：①点 (a ， b) 关于 x 轴的对称点是 (a ，－ b) ， 即关于 x 轴对称的点的横坐标不变；②点 (a ， b) 关于 y 轴的 对称点是 ( － a ， b) ，即关于 y 轴的对称点的纵坐标不变； ③点 (a ， b) 关于原点的对称点是 ( － a ，－ b) ，即关于原点 对称的点的坐标符号相反． 3 ． (2017· 泸州 ) 已知点 A(a ， 1) 与点 B( － 4 ， b) 关于原点 对称，则 a ＋ b 的值为 ( ) A ． 5 B ．－ 5 C ． 3 D ．－ 3 C 4 ． (2016· 贵港 ) 在平面直角坐标系中，将点 A(1 ，－ 2) 向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到 点 A′ ，则点 A′ 的坐标是 ( ) A ． ( － 1 ， 1) B ． ( － 1 ，－ 2) C ． ( － 1 ， 2) D ． (1 ， 2) A 考点三 函数自变量的取值范围 (5 年 0 考 ) (2017· 路南区二模 ) 下列函数中，自变量 x 可以 取 1 和 2 的函数是 ( ) 【 分析 】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方 数大于等于 0 ，分母不等于 0 ，就可以求出每个函数自变 量的取值范围，进而解决问题． 函数自变量的范围一般从四个方面考虑： (1) 当函数解析 式是整式时，自变量可取全体实数； (2) 当函数解析式是 分式时，考虑分式的分母不能为 0 ； (3) 当函数解析式是二 次根式时，被开方数非负； (4) 负指数幂和零指数幂的底 数不能为 0. 考点四 函数的图象 (5 年 1 考 ) 【 分析 】 分三段考虑：①点 P 在 AD 上运动，②点 P 在 DC 上 运动，③点 P 在 BC 上运动，分别求出 y 与 t 的函数解析式， 从而可得出函数的大致图象． 讲：动点函数图象分析的易错点 此类动点图形问题的函数图象研究，首先要注意分类讨论 思想的渗透，要细致分析图形面积发生变化的临界状态， 具体判断的步骤为：审清题意→动态演示→分析界点→化 动为静→得出结论 ( 解析式或者图象特征 ) ．解答此类问题 时，注意分析各个选项细微的差别，往往容易由于忽视细 节而导致错误． 练：链接变式训练 8 7 ． (2017· 双桥区一模 ) 如图，爸爸从家 ( 点 O) 出发，沿着 等腰三角形 AOB 的边 OA→AB→BO 的路径去匀速散步，其中 OA ＝ OB. 设爸爸距家 ( 点 O) 的距离为 s ，散步的时间为 t ，则下 列图形中能大致刻画 s 与 t 之间函数关系的图象是 ( ) D 8 ． (2017· 新华区模拟 ) 如图，已知点 G ， D ， C 在直线 a 上， 点 E ， F ， A ， B 在直线 b 上．若 a∥b ， Rt △GEF 从如图所示的 位置出发，沿水平方向向右匀速运动，直到 EG 与 BC 重合． 运动过程中 Rt △GEF 与矩形 ABCD 重合部分的面积 S 随时间 t 变化的图象大致是 ( ) √